直线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（（12分）

已知过点A（0，2），且方向向量为，相交于M、N两点.

（1）求实数的取值范围:

（2）若O为坐标原点，且.

正确答案

（1）

（2）

略

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题型：填空题

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填空题

若点P（x，y）在直线l：x+2y-3=0上运动，则x2+y2的最小值为______．

正确答案

代数法，∵点P（x，y）在直线l：x+2y-3=0上运动，

∴由x+2y-3=0，得x=3-2y，

∴x2+y2=（3-2y）2+y2=5y2-12y+9=5(y-

6

5

)2+

当y=时取最小值，最小值为．

几何法，x2+y2的值可以看作直线l：x+2y-3=0上点到原点的距离的平方

它的最小值是原点到直线的距离的平方；

即d2=(

-3

12+22

)2=；

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是______．

正确答案

把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-1）2=1，

所以圆心坐标为（1，1），圆的半径r=1，

所以圆心到直线x-y=2的距离d==，

则圆上的点到直线x-y=2的距离最大值为d+r=+1．

故答案为：+1

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题型：简答题

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简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆+y2=1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

正确答案

直线l的参数方程为，（t为参数）故直线l的普通方程为x+2y=0．

因为P为椭圆 +y2=1上任意点，故可设 P（2cosθ，sinθ）其中 θ∈R．

因此点P到直线l的距离是 d==，故当 θ=kπ+ 时，

d 取得最大值 =．

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题型：简答题

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简答题

（（12分）（本小题满分14分）已知圆O：直线。

（I）求圆O上的点到直线的最小距离。

（II）设圆O与轴的两交点是F1、F2，若从F1发出的光线经上的点M反射后过点F2，求以F1、F2为焦点且经过点M的椭圆方程。

正确答案

（１）ｄｍｉｎ＝１

（２）　　　ＭＦ１／＋ＭＦ２＝Ｆ１＇Ｆ２＝５＝２ａ

则为所求轨迹方程

略

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题型：填空题

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填空题

如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点，若，则的值为 .

正确答案

由题意，⊿PCB∽⊿PAD∴

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．

（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

正确答案

（1）把点P的极坐标为（4，）化为直角坐标为（2，2），

把直线l的参数方程（t为参数），化为直角坐标方程为 y=x+1，

由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．

（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为（θ为参数）．

把曲线C的方程化为直角坐标方程为（x-2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆．

圆心到直线的距离d==+，

故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=-，最大值为d+r=+，

∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2．

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题型：填空题

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填空题

直线x-y-1=0被圆x2+y2-4x-5=0所截得的弦长为______．

正确答案

圆x2+y2-4x-5=0化为标准方程得：（x-2）2+y2=9，

∴圆心坐标为（2，0），半径r=3，

∴圆心到直线x-y-1=0的距离d==，

则直线被圆截得的弦长为2=．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

设x，y∈R，且满足x-y+2=0，则的最小值为______．

正确答案

∵x，y∈R，且满足x-y+2=0，∴y=x+2，

∴==，

∵（x+1）2≥0，∴≥，∴≥．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及点P（3，4）．

（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．

（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

正确答案

（1）直线l方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0

由，解得x=-2且y=3，

∴直线恒l过定点A，其坐标为（-2，3）．

（2）∵直线恒l过定点A（-2，3）

∴当点P在直线l上的射影点恰好是A时，

即PA⊥l时，点P到直线l的距离最大

∵PA的斜率kPA==

∴直线l的斜率k==-5

由此可得点P到直线l的距离最大时，

直线l的方程为y-3=-5（x+2），即5x+y+7=0．

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题型：简答题

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简答题

设x-y+1=0，求d=+的最小值．

正确答案

d=+=+

可看作点A（-3，5）和B（2，15）

到直线x-y+1=0，上的点的距离之和，

作A（-3，5）关于直线x-y+1=0，

对称的点A′（4，-2），

则dmin=|A′B|=

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题型：填空题

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填空题

点是直线上的动点，点分别是圆和圆上的两个动点，则的最小值为

正确答案

因为点是直线上的动点，点分别是圆和圆上的两个动点，则的最小值为即为圆心的对称点的连线段即为所求，那么为。

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题型：填空题

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填空题

若点P在直线l1:x+my+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,且|PM|的最小值为4,则m=　　　.

正确答案

±1

由题意l2与圆C只有一个公共点,说明l2是圆C的切线,由于|PM|2=|PC|2-|CM|2=|PC|2-16,所以要|PM|最小,只需|PC|最小,

又C(5,0)为定点,则|PC|的最小值为点C到l1的距离,即=,所以|PM|的最小值为=4,解得m=±1.

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题型：简答题

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简答题

（13分）已知圆，内接于此圆，点的坐标，为坐标原点．

（Ⅰ）若的重心是,求直线的方程；

（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值．

正确答案

（1）．（2）．

(I)设，再由重心坐标公式可知,可得BC的中点坐标，再由,作差可得，可得BC的斜率，进而得到BC的方程.

（2）设：，代入圆的方程整理得：

由于3是上述方程的一个根，再根据韦达定理可得另一个根,同理可得：从而可求出

解：设

由题意可得：即……2分又

相减得：

∴ …………………4分

∴直线的方程为，即．………………6分

（2）设：，代入圆的方程整理得：

∵是上述方程的两根

∴ ……………9分

同理可得： ……………11分

∴． ……………………13

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题型：简答题

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简答题

已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．(1)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值.(2)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．

正确答案

(1)的最小值为 (2) 的取值范围为

本试题主要是考查了椭圆方程的求解借助于椭圆的定义得到结论。然后结合向量的关系式得到坐标关系，然后利用，得到范围。

（1）由题意得，∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆，进而得到结论。而曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

，那么利用图像法得到最值。

（2）设，由得：，

化简得，即，

而

∵点在圆内，∴，得到不等式，然后求解得到。

解：(1)由题意得，∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆. ………………………3分

设椭圆方程为，

则，

∴点的轨迹方程为 ………………5分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在y轴上的椭圆短轴上的顶点为结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则，

∴的最小值为。………………………8分

(2)设，由得：，

化简得，即，

而 …………10分

∵点在圆内，∴

∴，

∴的取值范围为．……………1２分

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