热门试卷

解：(1)由题意知，椭圆离心率为，

则，

又，所以可解得，

所以c2=4，

所以椭圆的标准方程为；

所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

所以该双曲线的标准方程为。

(2)设点P(x0，y0)，则，

所以，

又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有，

即，所以；

(3)假设存在实数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立，

则由(2)知k1·k2=1，所以设直线AB的方程为y=k(x+2)，

则直线CD的方程为，

由方程组，消y得：，

设，

则由韦达定理得：，

所以，

同理可得，

又因为|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|，

所以有，

所以存在常数，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．

解：(1)由题意可得圆的方程为，∵直线x-y+2=0与圆相切

∴d==b

即b=，又，即a=c，，得a=，c=1

所以椭圆方程为：

（2）设P（x0，y0）（y0≠0），A（-，0），则，即

则，即

∴k1·k2的值为；

（3）设M（x，y），其中x∈[-，]

由已知及点P在椭圆C上可得

整理得，其中x∈[-，]

①当时，化简得y2=6，所以点M的轨迹方程为，

轨迹是平行于x轴的线段；

②当时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆满足的部分。

解：（1）由点M是BN中点，又，

可知PM垂直平分BN，所以，|PN|=|PB|，

又|PA|+|PN|=|AN|，

所以，|PA|+|PB|=4，|AB|=2，

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为（a>b>0），

由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3，

可知动点P的轨迹方程为．

（2）设点P（x0，y0），PB的中点为Q，则，

即以PB为直径的圆的圆心为，

半径为r1=1-x0，

又圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r2=2，

又

由0＜x0＜1知，|OQ|＜r1+r2，

∴以PB为直径的圆与圆x2+y2=4相交。

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，

∵直线与圆相切，

∴，即， 

又，即，，

解得，，

所以椭圆方程为。

（Ⅱ）设，，，

则，即，

则，，

即，

∴为定值。

（Ⅲ）设，其中，

由已知及点P在椭圆C上可得，

整理得。

解：（1）由于

∴

解得

∴椭圆的方程是。

（2）∵

∴A，B，N三点共线，而N（-2，0），

设直线AB的方程为y=k（x+2）（k>0），

由

消去x得：

由

解得

设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得

又由得

∴

将②式代入①式得：

消去y2得

解得

故直线AB的斜率为。

解：（1）由题意，可得，

又即

∴

所以，椭圆的方程为

（2）设

则，

即，

∴。

（3）设，其中，

由已知及点P在椭圆上可得

整理，得其中。

解：（1）∵，

∴，

∵a-c=2c，

∴；

（2）设PF1的直线方程为y=k（x+c），

∵，

∴，

∴b-kc=2kc，

∴b=3kc，

∵a=3c，

∴b=2c，

∴k=。

（3）设=t，

则，

∵P在第一象限，

∴，，

∴，

∴2t=，

∴，

∴。

∴，

∴，

∴，

又由已知，

∴，

∴

（令m=6e-1，∴）

，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴。

解：（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得

从而

整理，得a2=3c2故离心率；

（2）由（1），得

所以椭圆的方程可写为

设直线AB的方程为

即

由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组

消去y并整理，得

依题意，

而

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x  ③

联立①③解得

将x1、x2代入②中，解得；

（3）由（2）可知

当时，得

由已知得

线段AF1的垂直平分线l的方程为

直线l与x轴的交点是△AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线F2B的方程为

于是点H（m，n）满足方程组

由m≠0，解得

故

当时，同理可得。

解：（1）设P（x0，y0），

∴①

∴椭圆的左右顶点分别为A，B，

∴A（-a，0），B（a，0）

∴，

∵直线AP与BP的斜率之积为，

∴

代入①并整理得

∵y0≠0，

∴a2=2b2∴

∴

∴椭圆的离心率为；

（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），

∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，

∴

∴②

∵|AP|=|OA|，A（-a，0），

∴

∴

∴代入②得

∴k2＞3

∴直线OP的斜率k满足|k|＞。

解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为

解得，（舍去）

所以椭圆方程为。

（2）设直线AE方程为：

代入得

设，

因为点在椭圆上，

所以，

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。

解：（Ⅰ）由题意易知

所以，

设P（x，y），则

=

因为x∈[﹣2，2]，

故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值﹣2

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，

可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，

整理得：

∴

由得：或

又

∴

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4

=

=

∵，

即k2＜4∴﹣2＜k＜2

故由①、②得：

或．

解：（1）设椭圆方程为

由得

∴椭圆方程为。

（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零

设l1：y=kx+2，则l2：

由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，

根据题意，Δ=（16k）2-16（3+4k2）>0，

解得

同理得

∴。

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），那么

∴，

∴

同理可得

即

∴

即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值。

解：（1）；

（2）或0。

解：（1）由题意，c=1，

可设椭圆方程为。

因为A在椭圆上，

所以，

解得=3，=（舍去）。

所以椭圆方程为。

（2）设直线AE方程：得

代入得

设E（，），F（，）

因为点A（1，）在椭圆上，

所以，

。

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。