- 直线与方程
- 共7398题
以点为圆心、双曲线
的渐近线为切线的圆的标准方程是____ __.
正确答案
双曲线的渐近线方程为:,点A到它们的距离d=4,所以圆的半径为4。
(本小题满分15分)如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为
的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.
正确答案
(Ⅰ) (Ⅱ)网略
(1)由题意,得a =,e =
,∴c =1,∴b2=1.
所以椭圆C的标准方程为…… 6分
(2)∵P(-1,1),F(1,0),∴,∴
.所以直线OQ的方程为y =2x.10分
又椭圆的右准线方程为x =2,所以Q(2,4),所以.
又,所以
,即OP⊥PQ.故直线PQ与圆O相切.… 15分
过抛物线的焦点
作倾角为
的直线,与抛物线分别交于
、
两点(
在
轴左侧),则
。
正确答案
略
若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为______.
正确答案
∵直线2x+y-1=0的斜率等于-2,
∴过点A(-2,m)和B(m,4)的直线的斜率k也是-2,
∴=-2,解得m=-8,
故答案为:-8.
过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,则a的值是______.
正确答案
∵过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,
∴kAB==tan45°=1,
∴a=.
故答案为:.
(本小题满分15分)已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为A、C,
上顶点为B,过F,B,C三点作,其中圆心P的坐标为
.
(1) 若椭圆的离心率,求
的方程;
(2)若的圆心在直线
上,求椭圆的方程.
正确答案
解:(1)当时,∵
,∴
,
∴,
,点
,
,
-----------2分
设的方程为
,由
过点F,B,C得
∴-----------------①
-----------------②
-------------------③ --------------------5分
由①②③联立解得,
,
-----------------------7分
∴所求的的方程为
- ------------8分
(2)∵过点F,B,C三点,∴圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为
--------④ ----------------------9分
∵BC的中点为,
∴BC的垂直平分线方程为-----⑤ ---------------------11分
由④⑤得,即
----------------12分
∵P在直线
上,∴
∵ ∴
由
得
-----------------------------------14分
∴椭圆的方程为 --------------------------------------------------------------15分
略
如图,给出定点A(a,0) (a>0,a≠1)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
正确答案
答案见解析
解法一:依题意,记B(-1,b) (b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得. ① ——4分
依题设,点C在直线AB上,故有
. ——6分
由 x-a≠0,得 . ②
将②式代入①代得
,
整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. ——9分
若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a);
若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式.
综上得点C的轨迹方程为
(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a). ——10分
∵a≠1,
∴ (0≤x<a). ③ ——12分
由此知,当0<a<1时,方程③表示椭圆弧段;
当a>1时,方程③表示双曲线一支的弧段. ——14分
解法二:如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足.
(ⅰ)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0<x<a,y≠0.
由CE∥BD得 . ——3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴ 2∠COA=π-∠BOD.
∵ ——6分
.
∴
整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a). ——9分
(ⅱ) 当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式.
综合(ⅰ),(ⅱ),得点C的轨迹方程为
(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a). ——10分
以下同解法一.
圆C与y轴相切,圆心在射线 x-3y=0(x>0)上,且圆C截直线y=x所得弦长为. (1)求圆C的方程。(2)点P(x,y)是圆C上的动点,求x+y的最大值。(3)求过点M(2,1)的圆的弦的中点轨迹方程。
正确答案
解:(1)(x-3)2+(y-1)2="9" ; (2);(3)
略
已知点A, B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M, 且它们的斜率之积是,则点M的轨迹方程为
正确答案
略
已知,内有一动点P,于M,于N,且四边形PMON的面积等于4,今以O为原点,的平分线为极轴(如图),求动点P的轨迹方程。
正确答案
设P点坐标为(,0),
∴,,
故四边形PMON的面积
∴为点极坐标为方程,
若化为直角坐标方程即是双曲线右支。
选修4-4 :坐标系与参数方程
已知圆方程为.
(1)求圆心轨迹的参数方程;
(2)点是(1)中曲线
上的动点,求
的取值范围.
正确答案
(1)(2)
(1)圆方程化为,其圆心为
,半径为
圆心轨迹的参数方程
为
(
为参数,
)化为普通方程
(2)点
是(1)中曲线
上的动点,
(
为参数,
)
已知过定点
,圆心
在抛物线
:
上运动,
为圆
在轴上所截得的弦.
⑴当点运动时,
是否有变化?并证明你的结论;
⑵当是
与
的等差中项时,
试判断抛物线的准线与圆
的位置关系,
并说明理由。
正确答案
(1)不变化,为定值
(2)抛物线
的准线与圆
相交
解:(1)设则
则的半径
……(2分)
⊙的方程为
令,并把
代入得
, ……(3分)
解得,∴
, ……(5分)
∴不变化,为定值
. ……(6分)
(2)∵,而
的中点横坐标为
,
∴不妨设,则由
有
,
∴,即
……(9分)
圆心到抛物线的准线
的距离
,
而圆的半径为 ……(11分)
如图,在极坐标系中,,求直线的极坐标方程。
正确答案
设M(,)是直线上任意一点,在中,
由正弦定理得,
则即为所求。
)
已知、
是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点,交y轴于M点,若
,求
的值.
正确答案
(1) (2) -10
(I)
点
是线段
的中点
是
的中位线,
又,
椭圆的标准方程为
(II)设点的坐标分别为
,又易知
点的坐标为(2,0).
去分母整理
同理由可得:
是方程
的两个根
(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知两点、
,点
是直角坐标平面上的动点,若将点
的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
.
(1) 求动点所在曲线
的轨迹方程;
(2)(理科)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
,又点
关于原点O的对称点为点
,试问四点
是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
(文科)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
(O为坐标原点),试判断点
是否在曲线
上,并说明理由.
正确答案
解(1)依据题意,有.
∵,
∴.
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是.
(2)(理科)因直线过点
,且斜率为
,
故有.联立方程组
,得
.
设两曲线的交点为、
,可算得
.
又,点
与点
关于原点对称,
于是,可得点、
.
若线段、
的中垂线分别为
和
,则有
,
.
联立方程组,解得
和
的交点为
.
因此,可算得,
.
所以,四点共圆,圆心坐标为
,半径为
.
略
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