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题型:填空题
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填空题

以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是____  __.

正确答案

双曲线的渐近线方程为:,点A到它们的距离d=4,所以圆的半径为4。

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分15分)如图,已知圆Ox2+y2=2交x轴于AB两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;

(2)证明:直线PQ与圆O相切.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)网略

(1)由题意,得a =e =,∴c =1,∴b2=1.

所以椭圆C的标准方程为…… 6分

(2)∵P(-1,1),F(1,0),∴,∴.所以直线OQ的方程为y =2x.10分

又椭圆的右准线方程为x =2,所以Q(2,4),所以

,所以,即OPPQ.故直线PQ与圆O相切.… 15分

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题型:填空题
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填空题

过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于两点(轴左侧),则                       

正确答案

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题型:填空题
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填空题

若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为______.

正确答案

∵直线2x+y-1=0的斜率等于-2,

∴过点A(-2,m)和B(m,4)的直线的斜率k也是-2,

=-2,解得m=-8,

故答案为:-8.

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题型:填空题
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填空题

过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,则a的值是______.

正确答案

∵过点A(a,4)和B(-1,a)的直线的倾斜角等于45°,

∴kAB==tan45°=1,

∴a=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分15分)已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为AC

上顶点为B,过F,B,C三点作,其中圆心P的坐标为

(1) 若椭圆的离心率,求的方程;

(2)若的圆心在直线上,求椭圆的方程.

正确答案

解:(1)当时,∵,∴

,点, -----------2分

的方程为 ,由过点F,B,C得

-----------------①-----------------②

-------------------③                        --------------------5分

由①②③联立解得   -----------------------7分

∴所求的的方程为       - ------------8分

(2)∵过点F,B,C三点,∴圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为--------④                       ----------------------9分

∵BC的中点为

∴BC的垂直平分线方程为-----⑤            ---------------------11分

由④⑤得,即          ----------------12分

∵P在直线上,∴

 ∴        -----------------------------------14分

∴椭圆的方程为     --------------------------------------------------------------15分

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题型:简答题
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简答题

如图,给出定点A(a,0)  (a>0,a≠1)和直线lx=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

正确答案

答案见解析

解法一:依题意,记B(-1,b) (b∈R),则直线OAOB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(xy),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点COAOB距离相等.根据点到直线的距离公式得.                           ①              ——4分

依题设,点C在直线AB上,故有

.                    ——6分

由 xa≠0,得 .                  ②

将②式代入①代得

整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0.                                 ——9分

y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a);

y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式.

综上得点C的轨迹方程为

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a).               ——10分

a≠1,

    (0≤x<a).        ③               ——12分

由此知,当0<a<1时,方程③表示椭圆弧段;

a>1时,方程③表示双曲线一支的弧段.                             ——14分

解法二:如图,设Dlx轴的交点,过点CCEx轴,E是垂足.

(ⅰ)当|BD|≠0时,设点C(xy),则0<x<ay≠0.

CEBD得 .                      ——3分

∵∠COA=∠COB=CODBOD=π-COA-∠BOD

∴ 2∠COA=π-∠BOD

          ——6分

整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a).                             ——9分

(ⅱ) 当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式.

综合(ⅰ),(ⅱ),得点C的轨迹方程为

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a).             ——10分

以下同解法一.

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题型:简答题
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简答题

圆C与y轴相切,圆心在射线 x-3y=0(x>0)上,且圆C截直线y=x所得弦长为.  (1)求圆C的方程。(2)点P(x,y)是圆C上的动点,求x+y的最大值。(3)求过点M(2,1)的圆的弦的中点轨迹方程。

正确答案

解:(1)(x-3)2+(y-1)2="9" ;  (2);(3)

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题型:填空题
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填空题

已知点A, B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M, 且它们的斜率之积是,则点M的轨迹方程为                      

正确答案

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题型:简答题
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简答题

已知,内有一动点PMN,且四边形PMON的面积等于4,今以O为原点,的平分线为极轴(如图),求动点P的轨迹方程。

正确答案

P点坐标为(,0),

    ∴

    故四边形PMON的面积

     

     

    ∴点极坐标为方程,

    若化为直角坐标方程即是双曲线右支。

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题型:简答题
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简答题

选修4-4 :坐标系与参数方程

已知圆方程为.

(1)求圆心轨迹的参数方程

(2)点是(1)中曲线上的动点,求的取值范围.

正确答案

(1)(2)

(1)圆方程化为,其圆心为,半径为

圆心轨迹的参数方程 (为参数, )化为普通方程 

(2)是(1)中曲线上的动点,为参数,

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题型:简答题
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简答题

已知过定点,圆心在抛物线上运动,为圆轴上所截得的弦.

⑴当点运动时,是否有变化?并证明你的结论;

⑵当的等差中项时,

试判断抛物线的准线与圆的位置关系,

并说明理由。

正确答案

(1)不变化,为定值(2)抛物线的准线与圆相交

解:(1)设

的半径                                  ……(2分)

的方程为 

,并把 代入得,                 ……(3分)

解得,∴,                    ……(5分)

不变化,为定值.                                             ……(6分)

(2)∵,而的中点横坐标为

∴不妨设,则由

,即                                      ……(9分)

圆心到抛物线的准线的距离

而圆的半径为        ……(11分)

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题型:简答题
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简答题

如图,在极坐标系中,,求直线的极坐标方程。

正确答案

M)是直线上任意一点,在中,

    由正弦定理得

    则即为所求。

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题型:简答题
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简答题

已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点在椭圆上,线段轴的交点满足

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于AB两点,交y轴于M点,若

,求的值.

正确答案

(1) (2) -10

(I) 是线段的中点的中位线,

 

椭圆的标准方程为 

(II)设点的坐标分别为,又易知点的坐标为(2,0).

去分母整理

同理由可得:

是方程的两个根

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题型:简答题
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简答题

(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.

  已知两点,点是直角坐标平面上的动点,若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足

(1) 求动点所在曲线的轨迹方程;

(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线两点,且满足,又点关于原点O的对称点为点,试问四点是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.

(文科)过点作斜率为的直线交曲线两点,且满足(O为坐标原点),试判断点是否在曲线上,并说明理由.

正确答案

解(1)依据题意,有

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是

(2)(理科)因直线过点,且斜率为

故有.联立方程组,得

设两曲线的交点为,可算得

,点与点关于原点对称,

于是,可得点

若线段的中垂线分别为,则有

联立方程组,解得的交点为

因此,可算得

      

所以,四点共圆,圆心坐标为,半径为

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