热门试卷

不存在

设在左支上存在点，使，

由双曲线的定义知，即．

又，解得，．

因在中有，

，．

解得，，

，与已知矛盾．

符合条件的点不存在．

（1）

（2）为

（1）由得

法一：动点P到定点的距离与到定直线的距离之比为常数，

所以点P在椭圆上．

由

所以所求的椭圆方程为

法二：

设代入得点P的轨迹方程为

（2）椭圆的右焦点为D（1，0），点B在椭圆上，

即,

故p的最小值为

（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．

得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．

△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，

得0＜k2＜1．

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，

AB中点坐标为（，）．

AB垂直平分线为y-=-（x-）．

令y=0，得x0==p+．

由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p+2p=3p．

∴x0＞3p．

（2）∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．

∴点Nn的坐标为（p+，0）．

|NnNn+1|=|（p+）-（p+）|=，=，

所求的值为[p3+p4++p21]=．

解：(Ⅰ) 由已知知.

所以

设，代入上式得

平方整理得．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）由题意可知设直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，

设直线的方程为，

由…………………………………6分

若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故.

由韦达定理可得

…………………………8分

………………………………10分

故直线的方程为.………………………………12分

略

（1）（2）该命题为真命题（3）见解析

（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该该抛物线的

方程为.

（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：

如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线

准线l上的射影分别为A、B、D，

∵PQ是抛物线过焦点F的弦，

∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB

的中位线，

  ∴ .

∵M是以PQ为直径的圆的圆心，∴圆M与l相切.

（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”.

此命题为真命题……10分

证明如下：

证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，

则0<e<1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，

∵，∴；同理得.

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相离.

选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分

证明：设PQ中点为M，双曲线的离心率为e，则e>1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，

∵，∴；同理得.

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相交.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅰ）由

由右焦点到直线的距离为

得：      解得

所以椭圆C的方程为                                                 …………4分

（Ⅱ）设，

直线AB的方程为

与椭圆联立消去y得

即 

整理得   所以O到直线AB的距离

                                                       …………8分

， 当且仅当OA=OB时取“=”号。

由

即弦AB的长度的最小值是          …………13分

(1)     (2)      (3)

略

（1）如图，由题知，……3分

（2）C(-2,0),D(2,0),

则可设…5分

 …………9分

（3）设，由题知成立

使得以MP为直径的圆恒过DP、MQ的交点 ………………13分

（Ⅰ）∵  

∵直线相切，

∴   ∴    …………3分

∵椭圆C1的方程是    ………………6分

（Ⅱ）∵MP=MF2，

∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线  ………………6分

∴点M的轨迹C2的方程为   …………9分

（Ⅲ）Q（0，0），设 

∴ 

∵

∴

∵，化简得

∴    ………………11分

∴

当且仅当 时等号成立   …………13分

∵

∴当的取值范围是……14分

同答案

⑴；⑵证明见解析.

（1）C1：……………………………………①

（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（，）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.

证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（，）的对称点为

P（t－x1，s－y1），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.

由于P1在曲线C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.

∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即点P（t－x1，s－y1）在曲线C上.

同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.

从而证得曲线C与C1关于点A（，）对称.