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题型:填空题
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填空题

设函数f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+的最小值.

正确答案

解析

解:(I)f(x)=

∴当x<-2时,f(x)>f(-2)=2;

当-2≤x≤0时,f(x)>f(0)=1;

当x>0时,f(x)>f(0)=1.

综上可得:函数f(x)的最小值为1,∴a=1.

(II)由(I)可知:m2+n2=1,

∴1≥2mn,∴

∵m,n>0,∴+≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.

+的最小值为2

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题型: 单选题
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单选题

若实数x,y满足=1,则x2+2y2有(  )

A最小值3+2

B最小值4

C最大值6

D最小值6

正确答案

A

解析

解:x2+2y2=(x2+2y2)()=3++≥3+2=3+2

所以答案应选A.

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题型:简答题
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简答题

已知x,y为正实数,且2x+y=1.①求的最小值;②求x2y的最大值.

正确答案

解:①∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴==;②∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴y=1-2x>0,∴,∴x2y=x2(1-2x)=x•x•(1-2x)=

∴(x2•y)max=

解析

解:①∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴==;②∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴y=1-2x>0,∴,∴x2y=x2(1-2x)=x•x•(1-2x)=

∴(x2•y)max=

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题型: 单选题
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单选题

已知x>0,y>0且x+y=xy,则x+y的取值范围是(  )

A(0,1]

B[2,+∞)

C(0,4]

D[4,+∞)

正确答案

D

解析

解:由x>0,y>0且x+y=xy,可得 x+y=xy≤

化简可得(x+y)2-4(x+y)≥0,解得 x+y≤0(舍去),或x+y≥4,

故x+y的取值范围是[4,+∞),

故选D

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题型:简答题
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简答题

若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,则实数x的取值范围是______

正确答案

解:∵正数a,b

∴ab=a+b+3≥2+3

∴ab≥2+3

≥0

≥3或≤-1,

∴ab≥9

则若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,必有|x-6|≤9,

解得-3≤x≤15,

则实数x的取值范围是[-3,15].

故答案为:[-3,15].

解析

解:∵正数a,b

∴ab=a+b+3≥2+3

∴ab≥2+3

≥0

≥3或≤-1,

∴ab≥9

则若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,必有|x-6|≤9,

解得-3≤x≤15,

则实数x的取值范围是[-3,15].

故答案为:[-3,15].

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题型:填空题
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填空题

若直线2ax-by+2=0(其中a、b为正实数)经过圆C:x2+y2十2x-4y+1=0的圆心,则的最小值为______

正确答案

9

解析

解:圆x2+y2十2x-4y+l=0的圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,

所以-2a-2b+2=0,即 1=a+b代入

得()(a+b)=5++≥9(a>0,b>0当且仅当a=2b时取等号)

故答案为:9.

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题型:填空题
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填空题

已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最大值是______

正确答案

2

解析

解:∵a,b∈R+,且a+b=1,

∴a+b=1≥2

∴ab≤

∴(2=a++b++2

=2+2=2+2≤2+2=4

∴(2≤4

的最大值是2(当且仅当a=b时,等号成立)

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题型: 单选题
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单选题

已知a,b∈R,且ab≠0,则在下列四个不等式中,不恒成立的是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:A.∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,因此正确;

B.ab<0时不成立;

C.(a-b)2≥0,可得(a+b)2≥4ab,∴,成立;

D.∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴

故选:B.

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题型:填空题
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填空题

若x>0,y>0,且+=6,则2x+3y的最小值为______

正确答案

9

解析

解:由题意2x+3y=(2x+3y)(

=()()=1

=5+≥5+2=9

当且仅当,即x=,y=2时取等号.

故答案为:9

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题型:简答题
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简答题

若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值.

正确答案

解:∵正实数x,y满足xy=2x+y+6,

∴xy=2x+y+6≥2+6,

整理可得(2-2-6≥0,

解关于的不等式可得≥3≤-(舍去)

∴平方可得xy≥18

当且仅当2x=y即x=3且y=6时取等号,

∴xy的最小值为18.

解析

解:∵正实数x,y满足xy=2x+y+6,

∴xy=2x+y+6≥2+6,

整理可得(2-2-6≥0,

解关于的不等式可得≥3≤-(舍去)

∴平方可得xy≥18

当且仅当2x=y即x=3且y=6时取等号,

∴xy的最小值为18.

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