- 基本不等式
- 共6247题
设函数f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+
的最小值.
正确答案
解析
解:(I)f(x)=,
∴当x<-2时,f(x)>f(-2)=2;
当-2≤x≤0时,f(x)>f(0)=1;
当x>0时,f(x)>f(0)=1.
综上可得:函数f(x)的最小值为1,∴a=1.
(II)由(I)可知:m2+n2=1,
∴1≥2mn,∴.
∵m,n>0,∴+
≥2
≥2
,当且仅当m=n=
时取等号.
∴+
的最小值为2
.
若实数x,y满足=1,则x2+2y2有( )
正确答案
解析
解:x2+2y2=(x2+2y2)()=3+
+
≥3+2
=3+2
,
所以答案应选A.
已知x,y为正实数,且2x+y=1.①求的最小值;②求x2y的最大值.
正确答案
解:①∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴=
=
,
;②∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴y=1-2x>0,∴
,∴x2y=x2(1-2x)=x•x•(1-2x)
=
,
∴(x2•y)max=.
解析
解:①∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴=
=
,
;②∵x,y为正实数,且2x+y=1,∴y=1-2x>0,∴
,∴x2y=x2(1-2x)=x•x•(1-2x)
=
,
∴(x2•y)max=.
已知x>0,y>0且x+y=xy,则x+y的取值范围是( )
正确答案
解析
解:由x>0,y>0且x+y=xy,可得 x+y=xy≤,
化简可得(x+y)2-4(x+y)≥0,解得 x+y≤0(舍去),或x+y≥4,
故x+y的取值范围是[4,+∞),
故选D
若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,则实数x的取值范围是______.
正确答案
解:∵正数a,b
∴ab=a+b+3≥2+3
∴ab≥2+3
∴≥0
∴≥3或
≤-1,
∴ab≥9
则若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,必有|x-6|≤9,
解得-3≤x≤15,
则实数x的取值范围是[-3,15].
故答案为:[-3,15].
解析
解:∵正数a,b
∴ab=a+b+3≥2+3
∴ab≥2+3
∴≥0
∴≥3或
≤-1,
∴ab≥9
则若满足ab=a+b+3的任意正数a,b均有|x-6|≤ab,必有|x-6|≤9,
解得-3≤x≤15,
则实数x的取值范围是[-3,15].
故答案为:[-3,15].
若直线2ax-by+2=0(其中a、b为正实数)经过圆C:x2+y2十2x-4y+1=0的圆心,则的最小值为______.
正确答案
9
解析
解:圆x2+y2十2x-4y+l=0的圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,
所以-2a-2b+2=0,即 1=a+b代入,
得()(a+b)=5+
+
≥9(a>0,b>0当且仅当a=2b时取等号)
故答案为:9.
已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最大值是______.
正确答案
2
解析
解:∵a,b∈R+,且a+b=1,
∴a+b=1≥2,
∴ab≤
∴()2=a+
+b+
+2
=2+2=2+2
≤2+2
=4
∴()2≤4
∴的最大值是2(当且仅当a=b时,等号成立)
已知a,b∈R,且ab≠0,则在下列四个不等式中,不恒成立的是( )
正确答案
解析
解:A.∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,因此正确;
B.ab<0时不成立;
C.(a-b)2≥0,可得(a+b)2≥4ab,∴,成立;
D.∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴.
故选:B.
若x>0,y>0,且+
=6,则2x+3y的最小值为______.
正确答案
9
解析
解:由题意2x+3y=(2x+3y)(
)
=()(
)=1
=5+≥5+2
=9
当且仅当,即x=
,y=2时取等号.
故答案为:9
若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值.
正确答案
解:∵正实数x,y满足xy=2x+y+6,
∴xy=2x+y+6≥2+6,
整理可得()2-2
•
-6≥0,
解关于的不等式可得
≥3
,
≤-
(舍去)
∴平方可得xy≥18
当且仅当2x=y即x=3且y=6时取等号,
∴xy的最小值为18.
解析
解:∵正实数x,y满足xy=2x+y+6,
∴xy=2x+y+6≥2+6,
整理可得()2-2
•
-6≥0,
解关于的不等式可得
≥3
,
≤-
(舍去)
∴平方可得xy≥18
当且仅当2x=y即x=3且y=6时取等号,
∴xy的最小值为18.
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