基本不等式_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

（1）对于任意x∈R，不等式2x2-a+3＞0恒成立，求实数a的取值范围；

（2）己知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值；

（3）若关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵对于任意x∈R，不等式2x2-a+3＞0恒成立，

∴对于任意x∈R，不等式a＜恒成立，

只需a＜的最小值即可，

又==2+，

令t=≥1，由函数的单调性可得

当t==1时，2+取最小值，

∴实数a的取值范围a＜；

（2）∵不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，

∴（x+y）（）的最小值≥9，

由基本不等式可得（x+y）（）=1+a++≥1+a+2，

∴1+a+2≥9，解得≥2，即a≥4，

∴正实数a的最小值为4；

（3）∵关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，

∴a=-=-，令t=2x+1＞1，则2x=t-1，

∴a=-=-=-（t+）+2

≤-2+2=2-2，

当且仅当t=即t=即x=log2（-1）时取等号，

∴实数a的取值范围为a≤2-2．

解析

解：（1）∵对于任意x∈R，不等式2x2-a+3＞0恒成立，

∴对于任意x∈R，不等式a＜恒成立，

只需a＜的最小值即可，

又==2+，

令t=≥1，由函数的单调性可得

当t==1时，2+取最小值，

∴实数a的取值范围a＜；

（2）∵不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，

∴（x+y）（）的最小值≥9，

由基本不等式可得（x+y）（）=1+a++≥1+a+2，

∴1+a+2≥9，解得≥2，即a≥4，

∴正实数a的最小值为4；

（3）∵关于x的方程4x+a•2x+a+1=0有实数解，

∴a=-=-，令t=2x+1＞1，则2x=t-1，

∴a=-=-=-（t+）+2

≤-2+2=2-2，

当且仅当t=即t=即x=log2（-1）时取等号，

∴实数a的取值范围为a≤2-2．

1

题型：单选题

|

单选题

设x+3y=2，则函数z=3x+27y的最小值是（　　）

A12

B27

C6

D30

正确答案

C

解析

解：∵x+3y=2，

∴函数z=3x+27y=≥2==6，

当且仅当x=3y=1时取等号．

∴函数z=3x+27y的最小值是6．

故选：C．

1

题型：填空题

|

填空题

如图，在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PAC的体积．若，且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是______．

正确答案

解析

解：在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．

∴==1．

∴，化为4x+2y=1．

∵a＞0，x＞0，y＞0．

∴==≥=4+2a+4，当且仅当取等号．

又+≥8恒成立，∴，解得．

故a的最小值是．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=（x+a-1）（1-3x）．

（1）若当x=a时，f（x）＜0，求实数a的取值范围；

（2）若当a=1，时，求函数f（x）的最大值．

正确答案

解：（1）当x=a时，f（x）=f（a）=（2a-1）（1-3a）＜0

即（2a-1）（3a-1）＞0

∴或

（2）当a=1时，

∵

∴3x＞0，1-3x＞0

∴（当且仅当3x=1-3x，即时取“=”号而）

∴．

解析

解：（1）当x=a时，f（x）=f（a）=（2a-1）（1-3a）＜0

即（2a-1）（3a-1）＞0

∴或

（2）当a=1时，

∵

∴3x＞0，1-3x＞0

∴（当且仅当3x=1-3x，即时取“=”号而）

∴．

1

题型：填空题

|

填空题

已知实数x，y满足，则x+y的取值范围是______．

正确答案

．

解析

解：实数x，y满足，化为+=4．

令，，θ∈[0，2π），且，

解得．

化为，

∴．

当，则=1取得最大值，x+y取得最大值．

当=时，=时，x+y取得最小值．

因此x+y的取值范围是．

故答案为．

1

题型：简答题

|

简答题

已知x＞0，y＞0，xy=12x+3y．

（1）求x+y最小值．

（2）求xy最小值．

正确答案

解：（1）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．

∴=1，

∴x+y=（x+y）=15+≥15+=27，当且仅当y=2x=18时取等号．

∴x+y的最小值为27．

（2）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．

∴xy，

化为，

解得，

∴xy≥144，当且仅当4x=y=24时取等号．

∴xy的最小值为144．

解析

解：（1）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．

∴=1，

∴x+y=（x+y）=15+≥15+=27，当且仅当y=2x=18时取等号．

∴x+y的最小值为27．

（2）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．

∴xy，

化为，

解得，

∴xy≥144，当且仅当4x=y=24时取等号．

∴xy的最小值为144．

1

题型：简答题

|

简答题

已知，求y=的取值范围．

正确答案

解：∵，∴2≥|m+n|≥≥2，

∴mn=1．

当n，m＞0时，y==m+≥2=2，当且仅当m=1时取等号．

同理可得：当n，m＜0时，y≤-2．

∴y=的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

解析

解：∵，∴2≥|m+n|≥≥2，

∴mn=1．

当n，m＞0时，y==m+≥2=2，当且仅当m=1时取等号．

同理可得：当n，m＜0时，y≤-2．

∴y=的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

1

题型：单选题

|

单选题

设a，b满足2a+3b=6，a＞0，b＞0，则+的最小值为（　　）

A

B

C

D4

正确答案

A

解析

解：a＞0，b＞0，2a+3b=6，∴=1，

∴+=（+）（）

=++≥+2=，

当且仅当=，即a=b=时取等号，

∴+的最小值为

故选：A

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，m=f（），n=f（），p=f（），则m，n，p的大小关系为______．

正确答案

m≤n≤p

解析

解：∵a，b∈R+，

∴，

∵函数f（x）=（）x在R上单调递减，

∴p=f（）≥f（）=n≥f（）=m，

∴m≤n≤p．

故答案为：m≤n≤p．

1

题型：单选题

|

单选题

已知x，y＞0，则的最小值是（　　）

A2

B2

C4

D5

正确答案

C

解析

解：∵x，y＞0，

∴≥2+2≥4=4，当且仅当x=y＞0取等号．

故选：C．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析