基本不等式_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知命题P：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，；命题Q：∀x∈R，x2-x+1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是（　　）

A非P∨非Q

B非P∧非Q

C非P∨Q

D非P∧Q

正确答案

B

解析

解：分别判断命题P和命题Q的真假

①先看命题P：

因为a，b∈（0，+∞），并且a+b=1，所以

∵

∴，

说明的最小值为4，因此命题P为假命题；

②再看命题Q：

一元二次方程x2-x+1=0的根的差别式

△=（-1）2-4×1×1=-3＜0

故相应的二次函数图象开口向上，与x轴无公共点，

因此x2-x+1≥0在R上恒成立，命题Q是真命题

∴命题P和命题Q其中一个为真命题，另一个为假命题，可得“非P∧非Q”是假命题

故正确答案为选B

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题型：简答题

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简答题

（1）已知a、b为正实数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；

（2）求函数f（x）=，x的最小值．

正确答案

解：（1）作差比较：-=．…（4分）

所以，≥．…（6分）

当ay=bx时，两式相等．…（8分）

（2）函数f（x）===25．…（3分）

当2（1-2x）=3×2x，即x=时，函数取得最小值25．…（6分）

解析

解：（1）作差比较：-=．…（4分）

所以，≥．…（6分）

当ay=bx时，两式相等．…（8分）

（2）函数f（x）===25．…（3分）

当2（1-2x）=3×2x，即x=时，函数取得最小值25．…（6分）

1

题型：填空题

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填空题

正实数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为______，x+y的最小值为______．

正确答案

2

解析

解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，

∴x=＞0，解得0＜y＜3．

∴xy==-2（y+1+）+10

≤-2×2+10=2，当且仅当y=1，x=2时取等号．

∴xy的最大值为2．

∵正数x，y满足xy+x+2y=6，

∴x=＞0，解得0＜y＜3．

∴x+y=+y=（y+1）+-3

≥2-3=4-3，当且仅当y=2-1，x=2-2时取等号．

∴x+y的最小值为4-3．

故答案为：2，．

1

题型：填空题

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填空题

△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点，S△MBC=，S△MCA=x，S△MAB=y，则的最小值为______．

正确答案

18

解析

解：∵，∠BAC=30°

∴|AC|•|AB|=4，

又S△ABC=•AC•AB•sin∠BAC=1 S△MBC=

∴M在三角形中位线上

S△MCA+S△MAB=x+y=，即1=2（x+y）

∴==10++≥10+2=18

故答案为18．

1

题型：单选题

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单选题

已知正数x，y满足，则x+2y的最小值为（　　）

A18

B16

C6

D6-1

正确答案

A

解析

解：∵，

∴x+2y=（x+2y）•（）=10++≥10+8=18，

当且仅当=即x=4y=12时等号成立，

∴x+2y的最小值为8．

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

某地计划建设一个外墙侧面面积为1500m2的仓储，现有两种方案，一是仓储外墙设计正四棱锥的侧面（如图a），四个侧面均为底边长为30m的等腰三角形；二是仓储外墙设计为面半径为20m的圆锥的侧面（如图b），请问选用哪一种方案能使仓储的空间更大一些，并说明理由．

正确答案

解：按方案一，

设斜高为hm，

则4××30×h=1500；

解得，h=25；

故正四棱锥的体高为=20；

故正四棱锥的体积为×302×20=6000m3；

按方案二，

设圆锥的母线长为lm，

则π×20×l=1500；

故l=m；

故圆锥的体高为；

故圆锥的体积V=×π×202×≈5460＜6000；

故选择方案一更大．

解析

解：按方案一，

设斜高为hm，

则4××30×h=1500；

解得，h=25；

故正四棱锥的体高为=20；

故正四棱锥的体积为×302×20=6000m3；

按方案二，

设圆锥的母线长为lm，

则π×20×l=1500；

故l=m；

故圆锥的体高为；

故圆锥的体积V=×π×202×≈5460＜6000；

故选择方案一更大．

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题型：填空题

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填空题

若对任意的x＞0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：∵对任意x＞0，≤a恒成立，

∴a≥（）max．

∵x＞0，

∴=≤=2，

即（）max=2，

∴a≥2．

故答案为：[2，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

已知a＞0，b＞0，2a+b=1，则y=+的最小值是（　　）

A

B

C4

D5

正确答案

B

解析

解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，

∴y=（2a+b）（+）=6+≥6+2=6+4，

当且仅当且2a+b=1，即b=2a，a=时等号成立．

y=+的最小值是：6+4．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知向量=（x-1，1），=（1，y），若，则2x+2y的最小值为（　　）

A2

B4

C2

D4

正确答案

C

解析

解：由向量=（x-1，1），=（1，y），若，

则•=0，即有x-1+y=0，

即x+y=1，

又2x+2y≥2=2=2，

当且仅当2x=2y即x=y=，取得等号．

则有2x+2y的最小值为2．

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•九江期末）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°（如图所示），考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9m2，且髙度不低于m．问防洪堤横断面的腰长AB为多少时，横断面的外周长AB+BC+CD最小，并求最小外周长：

正确答案

解：（1）设腰长AB=x，

即有9=（AD+BC）h，其中AD=BC+2•=BC+x，h=x，

∴9=（2BC+x）•x，得BC=-，

由，得2≤x＜6，

∴y=BC+2x=+x（2≤x＜6），

由y=+x≥2=6，

当并且仅当=x，即x=2时等号成立．

∴外周长AB+BC+CD的最小值为6米，此时腰长AB为2米．

解析

解：（1）设腰长AB=x，

即有9=（AD+BC）h，其中AD=BC+2•=BC+x，h=x，

∴9=（2BC+x）•x，得BC=-，

由，得2≤x＜6，

∴y=BC+2x=+x（2≤x＜6），

由y=+x≥2=6，

当并且仅当=x，即x=2时等号成立．

∴外周长AB+BC+CD的最小值为6米，此时腰长AB为2米．

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