基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在RT△ABC中，直角边AC=3，BC=4，点D是斜边AB上的动点，DE⊥AC交AC于点E，DF⊥BC交BC于点F，设CE=x．

（Ⅰ）求四边形FDEC的面积函数f（x）；

（Ⅱ）当x为何值时，f（x）最大？并求出f（x）的最大值．

正确答案

解：（1）设设CE=x．则AE=3-x，

∵=，

∴EF=4-，0＜x＜3，

∴四边形FDEC的面积函数f（x）=x（4-），0＜x＜3，

（2）∵f（x）=x（4-）=12××（1-）≤12×=3，0＜x＜3，

∴当=时，即x=时，等号成立．

∴当x=时，f（x）最大=3．

解析

解：（1）设设CE=x．则AE=3-x，

∵=，

∴EF=4-，0＜x＜3，

∴四边形FDEC的面积函数f（x）=x（4-），0＜x＜3，

（2）∵f（x）=x（4-）=12××（1-）≤12×=3，0＜x＜3，

∴当=时，即x=时，等号成立．

∴当x=时，f（x）最大=3．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．

（1）求实数m的值；

（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求+的最小值．

正确答案

解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），

∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0则b=．

不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．

即为x2+ax+＜m的解集为（c，c+2）．

则x2+ax+-m=0的两个根为c，c+2

∴2=c+2-c

∴m=2；

（2）x+y=2，∴x-1+y=1，

∴+=（+）（x-1+y）=3++≥3+2．

当且仅当=时，+的最小值为3+2．

解析

解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），

∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0则b=．

不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2）．

即为x2+ax+＜m的解集为（c，c+2）．

则x2+ax+-m=0的两个根为c，c+2

∴2=c+2-c

∴m=2；

（2）x+y=2，∴x-1+y=1，

∴+=（+）（x-1+y）=3++≥3+2．

当且仅当=时，+的最小值为3+2．

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题型：单选题

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单选题

对∀x∈[，4]，x2≥m（x-1）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A（-∞，5-5]

B（-∞，]

C（-∞，10）

D（-∞，10]

正确答案

D

解析

解：对∀x∈[，4]，x2≥m（x-1）恒成立，

等价于，

而=10，

当且仅当x-1=，即x=2∈[，4]时上式等号成立，

∴m≤10．

即实数m的取值范围是（-∞，10]．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

已知a＞b，ab=1，则的最小值是（　　）

A2

B

C2

D1

正确答案

A

解析

解：==，

∵a＞b

∴a-b＞0

∴≥2 =2（当a-b=时等号成立）

故选A．

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题型：简答题

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简答题

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）

（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？

（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为

18x+18（x-1）+…+18=9x（x+1），

（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则

y=[9x（x+1）+900]+6×1800

=+9x+10809≥10989；

（当且仅当=9x，即x=10时取等号）

所以该厂应每10天购买一次面粉，才能使每天支付的费用最少，平均每天最少费用是10989元．

解析

解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为

18x+18（x-1）+…+18=9x（x+1），

（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则

y=[9x（x+1）+900]+6×1800

=+9x+10809≥10989；

（当且仅当=9x，即x=10时取等号）

所以该厂应每10天购买一次面粉，才能使每天支付的费用最少，平均每天最少费用是10989元．

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题型：简答题

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简答题

求函数y=x+（x＜8）的最大值．

正确答案

解：设x-8=t（t＜0），则y=t++8

∵-t-≥2，

∴t+≤-2，

∴t++8≤6，

∴函数y=x+（x＜8）的最大值为6．

解析

解：设x-8=t（t＜0），则y=t++8

∵-t-≥2，

∴t+≤-2，

∴t++8≤6，

∴函数y=x+（x＜8）的最大值为6．

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题型：单选题

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单选题

若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意可得a≥ 恒成立．

由于=≤ （当且仅当x=1时，取等号），故的最大值为，

∴a≥，即a得最小值为，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知Rt△AOB中，|OB|=3，|斜边AB|=5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．

正确答案

解：以O为坐标原点，可设A（4，0）、B（0，3），

设P（x，y），△ABO内切圆半径为r．

∵三角形ABC面积S=OB×OA=×3×4=（AB+AO+BO）r，解得r=1，

即内切圆圆心坐标为（1，1），

∵P在内切圆上，

∴内切圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=1．

∵P点到A，B，O距离的平方和为d=x2+y2+（x-4）2+y2+x2+（y-3）2

=3（x-1）2+3（y-1）2-2x+19=22-2x，

显然0≤x≤2 即18≤d≤22，

∴≤≤，

即以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和最大值为，最小值为．

解析

解：以O为坐标原点，可设A（4，0）、B（0，3），

设P（x，y），△ABO内切圆半径为r．

∵三角形ABC面积S=OB×OA=×3×4=（AB+AO+BO）r，解得r=1，

即内切圆圆心坐标为（1，1），

∵P在内切圆上，

∴内切圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=1．

∵P点到A，B，O距离的平方和为d=x2+y2+（x-4）2+y2+x2+（y-3）2

=3（x-1）2+3（y-1）2-2x+19=22-2x，

显然0≤x≤2 即18≤d≤22，

∴≤≤，

即以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和最大值为，最小值为．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•苏州期末）已知ab=，a，b∈（0，1），则+的最小值为______．

正确答案

4+

解析

解：因为ab=，所以，b=，

因此，+=+

=+=+

=++2=2（+）+2

=（+）[（4a-1）+（4-4a）]+2

=[1+2++]+2

≥（3+2）+2=4+，

当且仅当：a=，取“=”，

即，+的最小值为：4+，

故答案为：4+．

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题型：简答题

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简答题

已知甲乙两个商场相距6公里，由于交通的原因市民到甲商场每公里车费到乙商场每公里车费的2倍，若甲乙两个商场同种商品价格都相同，为了节约起见，试确定市民到甲乙两个商场购物的地区分界线，并画出到甲商场购物的市民分布地区图．

正确答案

解：以甲乙两商场的中点为原点，

以甲乙两商场所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，

即有甲商场的坐标为（-3，0），乙商场的坐标为（3，0），

设市民到甲乙两个商场购物的地区分界线上

的点的坐标为（x，y），

由市民到甲商场每公里车费到乙商场每公里车费的2倍，

可得到甲乙两商场的路程之比为1：2，

即有=，

两边平方，化简可得，

x2+y2+10x+9=0，

即为（x+5）2+y2=16，

故市民到甲乙两个商场购物的地区分界线为（-5，0）为圆心，4为半径的圆，

到甲商场购物的市民分布地区图为圆及内部的区域．

解析

解：以甲乙两商场的中点为原点，

以甲乙两商场所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，

即有甲商场的坐标为（-3，0），乙商场的坐标为（3，0），

设市民到甲乙两个商场购物的地区分界线上

的点的坐标为（x，y），

由市民到甲商场每公里车费到乙商场每公里车费的2倍，

可得到甲乙两商场的路程之比为1：2，

即有=，

两边平方，化简可得，

x2+y2+10x+9=0，

即为（x+5）2+y2=16，

故市民到甲乙两个商场购物的地区分界线为（-5，0）为圆心，4为半径的圆，

到甲商场购物的市民分布地区图为圆及内部的区域．

热门试卷

正确答案

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