基本不等式_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

设x，y＞0，且x+2y=3，则+的最小值为（　　）

A2

B

C1+

D3+2

正确答案

C

解析

解：∵x，y＞0，且x+2y=3，

∴+=（+）（x+2y）=（+）=（++3）≥（+3）=1+

当且仅当==时取等号

故+的最小值为1+

故选C

1

题型：简答题

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简答题

如图，某住宅小区在围墙的墙角处有一矩形绿地ABCD，周围均为荒地，开发商欲把墙角处改造扩建成一个更大的绿地三角形花园AEF，要求EF过点C，若AB长15m，AD长10m．

（1）要使绿地AEF的面积不超过400m2，则AE的长应在什么范围内？

（2）若在改造扩建过程中，原绿地改造的费用为每平方100元，旁边荒地改造的费用为每平方200元，则当AE的长度是多少时，开发商投入的费用最小？并求出最小费用．

正确答案

解：（1）设BE=xm，则DF=m

∴AE=15+x，AF=+10

∴△AEF的面积为（15+x）（+10）m2，

∵绿地AEF的面积不超过400m2，

∴（15+x）（+10）≤400

∴x2-50x+225≤0

∴5≤x≤45

∴20≤AE≤60

（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．

△AEF的面积为（15+x）（+10）=≥300，当且仅当，即x=15，AE=30m时，

开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300-150）=45000元．

解析

解：（1）设BE=xm，则DF=m

∴AE=15+x，AF=+10

∴△AEF的面积为（15+x）（+10）m2，

∵绿地AEF的面积不超过400m2，

∴（15+x）（+10）≤400

∴x2-50x+225≤0

∴5≤x≤45

∴20≤AE≤60

（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．

△AEF的面积为（15+x）（+10）=≥300，当且仅当，即x=15，AE=30m时，

开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300-150）=45000元．

1

题型：简答题

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简答题

求函数f（x）=的最小值．

正确答案

解：函数f（x）=（x＞0）

=+≥2=2，

当且仅当x=1时，取得最小值，且为2．

解析

解：函数f（x）=（x＞0）

=+≥2=2，

当且仅当x=1时，取得最小值，且为2．

1

题型：单选题

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单选题

已知点（-1，-1）在直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）上，则的最小值为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：∵点（-1，-1）在直线ax+by+2=0（a＞0，b＞0）上，

∴-a-b+2=0，化为a+b=2．

∴=（a+b）（）=1+（）≥2，当且仅当a=1，b=1时取等号．

∴的最小值2．

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．

（1）试将y表示成x的函数；

（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）

正确答案

解：（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA

∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）==

∴；

（2），当且仅当m时，取等号

∴m时，y=tan∠APB取得最大值

∵∠APB∈

∴m时，∠APB取得最大值．

解析

解：（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA

∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）==

∴；

（2），当且仅当m时，取等号

∴m时，y=tan∠APB取得最大值

∵∠APB∈

∴m时，∠APB取得最大值．

1

题型：简答题

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简答题

已知a＞0，b＞0且a+b=1．

求证：（1）；

（2）．

正确答案

证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，

∴=（）=2≥2+2=4．

∴；

（2）要证．

只需a+b+1-2≤4，

即-2≤1，显然成立，

∴原不等证成立．

解析

证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，

∴=（）=2≥2+2=4．

∴；

（2）要证．

只需a+b+1-2≤4，

即-2≤1，显然成立，

∴原不等证成立．

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题型：填空题

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填空题

设S=x2+y2-2（x+y），其中x，y满足log2x+log2y=1，则S的最小值为______．

正确答案

解析

解：由log2x+log2y=1，可得log2 xy=1，x＞0，y＞0，且xy=2．

∴S=x2+y2-2（x+y）≥2xy-2=，当且仅当x=y时取等号，

∴S的最小值为，

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为24吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为18吨，由于该水域面积限制，最多只能放置12个网箱．已知养殖总成本为50+2x万元．

（1）试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？

（2）若鱼的市场价为1万元/吨，应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大？

正确答案

解：（1）设p=ax+b，由已知得，∴

∴p=-2x+32

∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）2+128（x∈N+，x≤12）

∴当x=8时，f（x）最大

即放置8个网箱时，可使综产量达到最大

（2）收益为y=（-2x2+32）×1-（50+2x）（x∈N+，x≤12）

∴（x∈N+，x≤12）

∵（当且仅当，即x=5时取等号）

∴y≤-20+30=10

即x=5时，ymax=10

解析

解：（1）设p=ax+b，由已知得，∴

∴p=-2x+32

∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）2+128（x∈N+，x≤12）

∴当x=8时，f（x）最大

即放置8个网箱时，可使综产量达到最大

（2）收益为y=（-2x2+32）×1-（50+2x）（x∈N+，x≤12）

∴（x∈N+，x≤12）

∵（当且仅当，即x=5时取等号）

∴y≤-20+30=10

即x=5时，ymax=10

1

题型：简答题

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简答题

（理科做）设函数f（x）=ax+（x＞1）

（1）若a＞0，求函数f（x）的最小值；

（2）若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f （x）＞b恒成立的概率．

正确答案

（1）解：x＞1，a＞0，

f（x）=ax+=ax++1

=a（x-1）++1+a=（+1）2

∴f（x）min=（+1）2

（2）则基本事件总数为12个，即

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个

由古典概型得：P（A）==

解析

（1）解：x＞1，a＞0，

f（x）=ax+=ax++1

=a（x-1）++1+a=（+1）2

∴f（x）min=（+1）2

（2）则基本事件总数为12个，即

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个

由古典概型得：P（A）==

1

题型：填空题

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填空题

函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是______；此时x=______．

正确答案

3

2

解析

解：∵x＞1，∴x-1＞0．

∴函数y=+x=x-1++1≥2+1=3，

当且仅当x=2时取等号．

∴函数y=+x的最小值是3．此时x=2．

故答案为：3，2．

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