基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目．经测算，该项目处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数可以近似的表示为：，且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴．

（1）当x∈[200，300）时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获得，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

正确答案

解：（1）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x-（x2-200x+80000）=-（x-400）2，

∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利

当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为

①当x∈[120，144）时，，∴当x=120时，取得最小值240；

②当x∈[144，500）时，

当且仅当，即x=400时，取得最小值200

∵200＜240

∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

解析

解：（1）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x-（x2-200x+80000）=-（x-400）2，

∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利

当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为

①当x∈[120，144）时，，∴当x=120时，取得最小值240；

②当x∈[144，500）时，

当且仅当，即x=400时，取得最小值200

∵200＜240

∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

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题型：填空题

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填空题

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=3x，若f（a+b）=9，则f（ab）的最大值为______．

正确答案

3

解析

解：∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）=3x，

∴若f（a+b）=9，

即3a+b=9，

∴a+b=2，

则由基本不等式可知2=a+b，

即ab≤1，

∴f（ab）=3ab≤3，

即f（ab）的最大值为3．

故答案为：3．

1

题型：填空题

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填空题

已知函数，则函数f（x）的值域为______．

正确答案

解析

解：∵函数，

∴f‘（x）=1-，

由f'（x）≥0，解得2≤x≤5，此时函数单调递增．

由f'（x）≤0，解得1≤x≤2，此时函数单调递减．

∴函数f（x）的最小值为f（2）=2，

∵f（1）=1+4=5，f（5）=5+．

∴最大值为f（5）=，

∴4，

即函数的值域为：．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为______．

正确答案

3

解析

解：∵x＞0，y＞0且x+y=2

∴=1（当且仅当x=y=1时取等号）

则++==3（当且仅当x=y时取等号）

即++的最小值3

故答案为：3

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题型：填空题

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填空题

正实数x，y，z满足xy+3yz=20，则2x2+5y2+2z2的最小值为______．

正确答案

40

解析

解：由x，y，z＞0可得，

2x2+5y2+2z2=（2x2+y2）+（y2+2z2）

≥2+2

=2xy+6yz=2（xy+3yz）=2×20=40．

当且仅当x=y，z=y取得最小值40．

故答案为：40．

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题型：简答题

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简答题

要做一个体积为72cm3的长方体带盖箱子，并且使长宽之比为2：1，当长、宽、高分别为多少cm时，箱子的表面积最小？

正确答案

解：设长为2xcm，宽为xcm，则高为，

∴表面积为S=2（2x•x+x•+2x）=4（）=4≥4•=108，

当且仅当，即x=3时，S取得最小值，

∴x=3时，S最小=108

∴长、宽、高分别为6cm、3cm、4cm时，箱子表面积最小．

解析

解：设长为2xcm，宽为xcm，则高为，

∴表面积为S=2（2x•x+x•+2x）=4（）=4≥4•=108，

当且仅当，即x=3时，S取得最小值，

∴x=3时，S最小=108

∴长、宽、高分别为6cm、3cm、4cm时，箱子表面积最小．

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=x-1+（x＞-1）．当x=a时，f（x）取得最小值，则a=（　　）

A2

B1

C-3

D-4

正确答案

A

解析

解：f（x）=x-1+=x+1+-2，

因为x＞-1，所以x+1＞0，＞0，

由均值不等式得f（x）=x-1+=x+1+-2≥2-2=4

当且仅当x+1=，即（x+1）2=9，

所以x+1=3，x=2时取等号，f（x）取得最小值，

所以a=2，

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

已知0＜b≤a，则a2+的最小值为______．

正确答案

8

解析

解：0＜b≤a，即为a-b≥0，

a=b+（a-b）≥2，

则a2+≥（2）2+=4b（a-b）+≥2=8．

当且仅当b=a-b，且4b（a-b）=，即a=2，b=1，

取得最小值8．

故答案为：8．

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题型：填空题

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填空题

有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮20000千克，乙每次购粮10000元，在两次统计中，购粮方式比较经济的是______．

正确答案

乙

解析

解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第一次购粮时的单价是y元/千克，

甲两次购粮共花费：20000x+20000y，一共购买了粮食：20000+20000=40000千克，

甲购粮的平均单价是：；

乙两次购粮共花费：10000+10000=20000元，一共购买粮食：（千克），

乙购粮的平均单价是：；

甲乙购粮的平均单价的差是：==＞0，

即＞，

所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，

故答案为：乙．

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题型：单选题

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单选题

定义在（0，+∞）的函数 f（x）=（ax2+bx）（ax-2+bx-1）（ab＞0），则f（x）（　　）

A有最大值（a+b）2，没有最小值

B有最小值（a+b）2，没有最大值

C有最大值（a+b）2，有最小值（a-b）2

D没有最值

正确答案

B

解析

解：f（x）=（ax2+bx）（ax-2+bx-1）（ab＞0）

=a2+abx+abx-1+b2≥+a2+b2=2ab+a2+b2=（a+b）2，

当且仅当x=x-1，x=1时取得等号．

当x趋向正无穷大时，f（x）趋向正无穷大，f（x）无最大值．

故选B

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