- 基本不等式
- 共6247题
发现有一批不锈钢材料，可用于绿地围边，经测算可围长度为200米，现选如图所示4块同样大小的长方形绿地，四周用不锈钢围边，中间用不锈钢隔开．问如何设计所围绿地总面积最大？最大总面积为多少平方米？
正确答案
解：设4块同样大小的长方形绿地的一边长为x米，另一边为y米，
由题意可得5x+8y=200，
所围绿地总面积为S=4xy
=
当且仅当5x=8y=100，即有x=20，y=12.5，取得等号．
则当每块矩形的长为20米，宽为12.5米时，
所围绿地总面积最大，且为1000平方米．
解析
解：设4块同样大小的长方形绿地的一边长为x米，另一边为y米，
由题意可得5x+8y=200，
所围绿地总面积为S=4xy
=
当且仅当5x=8y=100，即有x=20，y=12.5，取得等号．
则当每块矩形的长为20米，宽为12.5米时，
所围绿地总面积最大，且为1000平方米．
某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．
（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？
正确答案
解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y=50n-98-[12×n+
所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分）
（2）年平均利润为
当且仅当n=
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分）
解析
解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y=50n-98-[12×n+
所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分）
（2）年平均利润为
当且仅当n=
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分）
某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2.8元、销售价为3.4元，全年分若干次进货、每次进货均为x包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x元，为使利润最大，则x=______．
正确答案
500
解析
解：设获得的利润为y元，根据题意可得毛利=（3.4-2.8）×6000，总运输费=
∴y=（3.4-2.8）×6000-
∵x＞0
∴x+
∴-1.5（x+
即当x=500时函数取得最大值2100
（Ⅰ）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？
正确答案
解：（Ⅰ）设DQ=x米（x＞0），则AQ=x+20，
∵
则S=
=15（x+
（Ⅱ）由S≥1600，得3x2-200x+1200≥0解得0＜x≤
答：（Ⅰ）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0＜DQ≤
解析
解：（Ⅰ）设DQ=x米（x＞0），则AQ=x+20，
∵
则S=
=15（x+
（Ⅱ）由S≥1600，得3x2-200x+1200≥0解得0＜x≤
答：（Ⅰ）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0＜DQ≤
某厂拟在2014年通过广告促销活动推销产品．经调查测算，产品的年销售量（假定年产量=年销售量）x万件与年广告费用t（t≥0）万元满足关系式：x=3-
（Ⅰ）将2014年该厂的年销售利润y（万元）表示为年广告促销费用t（万元）的函数；
（Ⅱ）2014年广告促销费用投入多少万元时，该厂将获利最大？
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得当t=0时，x=1即，1=3-k，
∴k=2…（2分）
∴
∴
∴所求的函数解析式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵t≥0，
∴t+1＞0，
∴
∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）由题意得当t=0时，x=1即，1=3-k，
∴k=2…（2分）
∴
∴
∴所求的函数解析式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵t≥0，
∴t+1＞0，
∴
∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大．…（13分）
已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy+8=0，求xy的最小值．
正确答案
解：考察基本不等式x+2y=x•（2y）-8
≥2
整理得xy-
即（
由
所以xy≥8（当且仅当x=2y=4时取等号）
则xy的最小值是8．
解析
解：考察基本不等式x+2y=x•（2y）-8
≥2
整理得xy-
即（
由
所以xy≥8（当且仅当x=2y=4时取等号）
则xy的最小值是8．
已知正实数x，y满足
正确答案
[3+2
解析
解：∵
∴m=x+y=（x+y）（
=3+
（当且仅当x=2+
故实数m的取值范围是[3+2
故答案为：[3+2
设k为常数，求f（x）=
正确答案
解：f（x）=
①若k≤1，f（x）≥2
当且仅当
②若k＞1时，令
y=t+
则y=t+
则有t=
即有k≤1时，f（x）取得最小值2；
k＞1时，f（x）取得最小值为
解析
解：f（x）=
①若k≤1，f（x）≥2
当且仅当
②若k＞1时，令
y=t+
则y=t+
则有t=
即有k≤1时，f（x）取得最小值2；
k＞1时，f（x）取得最小值为
（2015春•哈尔滨校级期中）已知3x+y=10，则x2+y2的最小值为（ ）
A
B10
C1
D100
正确答案
解析
解：根据解析几何的性质可知，3x+y=10表示直线的方程，则x2+y2表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线3x+y=10距离为直线的点到原点的最短距离
故x2+y2的最小值为（
故选B．
设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=
正确答案
解析
解：∵an+1=an，∴an=a1，
∵bn+1=
∴bn+1+cn+1=an+
∴bn+1+cn+1-2a1=
又b1+c1=2a1，
∴当n=1时，b2+c2-2a1=
当n=2时，b3+c3-2a1=
…
∴bn+cn-2a1=0，
即bn+cn=2a1为常数，
∵bn-cn=（-
∴当n→+∞时，bn-cn→0，即bn→cn，
则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2
∴bncn
由余弦定理可得
即（a1）2=（2a1）2-2bncn（1+cosAn），
即2bncn（1+cosAn）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosAn），
即3≤2（1+cosAn），
解得cosAn
∴0＜An
即∠An的最大值是
故答案为：
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