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题型:简答题
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简答题

若当0<x<时,关于x的不等式+≥m2+8m恒成立,求实数m的取值范围.

正确答案

解:可令f(x)=+(0<x<),

则f(x)=(2x+1-2x)(+

=5++≥5+2

=5+4=9.

当且仅当=,即x=时,取得最小值9.

又关于x的不等式+≥m2+8m恒成立,

∴有9≥m2+8m,解得-9≤m≤1.

则实数m的取值范围是[-9,1].

解析

解:可令f(x)=+(0<x<),

则f(x)=(2x+1-2x)(+

=5++≥5+2

=5+4=9.

当且仅当=,即x=时,取得最小值9.

又关于x的不等式+≥m2+8m恒成立,

∴有9≥m2+8m,解得-9≤m≤1.

则实数m的取值范围是[-9,1].

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题型:简答题
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简答题

某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率P与日产量x(件)之间大体满足如下关系:p=(其中c为小于96的常数)注:次品率,如P=0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品.

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元,但每生产一件次品将亏损元,故厂方希望定出合适的日产量.

(Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;

(Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?

正确答案

解:(Ⅰ)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日产量(x)×次品率(P)×亏损( ),整理即可得到T=

(Ⅱ)当x≤c<96时,

当且仅当x=84时,等号成立.

∴当0<c<84时,当x=c时,

当84≤c<96时,x=84时,

答:当84≤c<96时,日产量为84时,利润最大;当0<c<84时,日产量为c时,利润最大.

解析

解:(Ⅰ)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日产量(x)×次品率(P)×亏损( ),整理即可得到T=

(Ⅱ)当x≤c<96时,

当且仅当x=84时,等号成立.

∴当0<c<84时,当x=c时,

当84≤c<96时,x=84时,

答:当84≤c<96时,日产量为84时,利润最大;当0<c<84时,日产量为c时,利润最大.

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题型:简答题
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简答题

设m是常数,集合

(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有的实数x都有意义;

(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值;

(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不于1.

正确答案

解:(1)

当m∈M,即 m>1时,恒成立,

故f(x)的定义域为R.

(2)设

∵y=log3U是增函数,

∴当U最小时f(x)最小.

,显然当x=2m时,U的最小值为

此时

(3)m∈M时,,当且仅当m-1=1时,即m=2时,等号成立,

所以,即函数f(x)的最小值都不小于1.

解析

解:(1)

当m∈M,即 m>1时,恒成立,

故f(x)的定义域为R.

(2)设

∵y=log3U是增函数,

∴当U最小时f(x)最小.

,显然当x=2m时,U的最小值为

此时

(3)m∈M时,,当且仅当m-1=1时,即m=2时,等号成立,

所以,即函数f(x)的最小值都不小于1.

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题型:简答题
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简答题

上海某玩具厂生产x套吉祥物“福娃”所需成本费用为P元,且,而每套售出的价格为Q元,其中

(1)问:该玩具厂生产多少套“福娃”时,使得每套“福娃”所需成本费用最少?

(2)若生产出的“福娃”能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)

正确答案

解:(1)由题意,每套“福娃”所需成本费用为

,即x=100时,每套“福娃”所需成本费用最少为25元.(6分)

(2)利润为(9分).

由题意,(12分)

解得  a=25,b=30.(14分).

解析

解:(1)由题意,每套“福娃”所需成本费用为

,即x=100时,每套“福娃”所需成本费用最少为25元.(6分)

(2)利润为(9分).

由题意,(12分)

解得  a=25,b=30.(14分).

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题型:简答题
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简答题

某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量x(单位:件,x∈N*,1≤x≤96)的关系如下:

又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元,每生产一件次品就损失元.

(1)将该厂日盈利额T(元)表示为日产量x的函数;

(2)为了获得最大的盈利,该厂的日产量应定为多少件?(注:次品率p=×100%,正品率=1-p)

正确答案

解:(1)因为 p=,x中次品有xp,正品有(x-xp)

所以该厂日盈利额T=a(x-xp)-xp=a(x-)  (1≤x≤96,x∈N*

(2)T=a(x-)=a[104-(100-x)-]≤64a

当且仅当100-x=,即x=80或120时,取等号

∵1≤x≤96,∴x=80时,该厂盈利最大.

解析

解:(1)因为 p=,x中次品有xp,正品有(x-xp)

所以该厂日盈利额T=a(x-xp)-xp=a(x-)  (1≤x≤96,x∈N*

(2)T=a(x-)=a[104-(100-x)-]≤64a

当且仅当100-x=,即x=80或120时,取等号

∵1≤x≤96,∴x=80时,该厂盈利最大.

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题型:填空题
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填空题

已知方程x2+y2+2mx-2ny-2=0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则当正数m、n的乘积取得最大值时直线l的方程是______

正确答案

x+y+2=0

解析

解:∵方程x2+y2-2mx+2my-2=0

∴x2+y2-2-2m(x-y)=0

解方程组

∵A在第三象限

∴A(-1,-1)

∵点A在直线l:mx+ny+1=0

∴m+n=1

∵m>0,n>0

∴mn≤=

当且仅当m=n=时,正数m,n的乘积取得最大值

∴直线l:mx+ny+1=0为直线l:x+y+2=0

故答案为:x+y+2=0.

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题型:简答题
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简答题

我省某房地产开发商用2016万元购得一块商业用地,计划在此地上建造一栋至少6层、每层2016平方米的楼房.经测算,如果将楼房建造x层,则每平方米的平均建造费用为(2016+100x)元,为了使楼房每平方米平均的综合费用最小,此楼房应建造多少层?

正确答案

解:设楼房应建为x层(x≥6),楼房每平方米的平均综合费为y元,

则y=(2016+100x)+=2016+100x+

≥2016+2=4016,

当且仅当=100x,即x=10时,y取最小值4016.

答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为10层.

解析

解:设楼房应建为x层(x≥6),楼房每平方米的平均综合费为y元,

则y=(2016+100x)+=2016+100x+

≥2016+2=4016,

当且仅当=100x,即x=10时,y取最小值4016.

答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为10层.

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=2x+x-1的零点个数是a,,正数m,n满足m+n=2,则的最小值为______

正确答案

解析

解:∵函数f(x)=2x+x-1的零点个数为1

∴a=1

,=(4x2+x)|01=5

==(m+n)()=3+≥3+

当且仅当n=m时取等号

的最小值为

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

已知实数a,b>0,a,b的等差中项为,设,则m+n的最小值为(  )

A3

B4

C5

D6

正确答案

C

解析

解:∵a>0,b>0,a,b的等差中项是

∴a+b=1

又∵m+n=a+b+=1++

=

当且仅当a=b时,等号成立,

∴m+n取得最小值5

故选C.

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题型:简答题
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简答题

特种运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶在500千米的路段上(50≤x≤a),a为公路的最高限速(a>50),假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时84元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式

(2)当卡车以什么速度行驶时,这次行车的总费用最低.

正确答案

解:(1)由题意得,

y=[6(2+)+84]

=+,(50≤x≤a);

(2)当a<80时,

易知y=+在[50,a]上是减函数;

故当卡车以每小时a千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.

当a≥80时,+≥2=120

(当且仅当=,即x=80时,等号成立);

则当卡车以每小时80千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.

解析

解:(1)由题意得,

y=[6(2+)+84]

=+,(50≤x≤a);

(2)当a<80时,

易知y=+在[50,a]上是减函数;

故当卡车以每小时a千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.

当a≥80时,+≥2=120

(当且仅当=,即x=80时,等号成立);

则当卡车以每小时80千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.

百度题库 > 高考 > 数学 > 基本不等式

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