- 基本不等式
- 共6247题
若当0<x<时,关于x的不等式
+
≥m2+8m恒成立,求实数m的取值范围.
正确答案
解:可令f(x)=+
(0<x<
),
则f(x)=(2x+1-2x)(+
)
=5++
≥5+2
=5+4=9.
当且仅当=
,即x=
时,取得最小值9.
又关于x的不等式+
≥m2+8m恒成立,
∴有9≥m2+8m,解得-9≤m≤1.
则实数m的取值范围是[-9,1].
解析
解:可令f(x)=+
(0<x<
),
则f(x)=(2x+1-2x)(+
)
=5++
≥5+2
=5+4=9.
当且仅当=
,即x=
时,取得最小值9.
又关于x的不等式+
≥m2+8m恒成立,
∴有9≥m2+8m,解得-9≤m≤1.
则实数m的取值范围是[-9,1].
某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率P与日产量x(件)之间大体满足如下关系:p=(其中c为小于96的常数)注:次品率
,如P=0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品.
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元,但每生产一件次品将亏损元,故厂方希望定出合适的日产量.
(Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;
(Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?
正确答案
解:(Ⅰ)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日产量(x)×次品率(P)×亏损( ),整理即可得到T=
(Ⅱ)当x≤c<96时,
当且仅当x=84时,等号成立.
∴当0<c<84时,当x=c时,
当84≤c<96时,x=84时,
答:当84≤c<96时,日产量为84时,利润最大;当0<c<84时,日产量为c时,利润最大.
解析
解:(Ⅰ)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日产量(x)×次品率(P)×亏损( ),整理即可得到T=
(Ⅱ)当x≤c<96时,
当且仅当x=84时,等号成立.
∴当0<c<84时,当x=c时,
当84≤c<96时,x=84时,
答:当84≤c<96时,日产量为84时,利润最大;当0<c<84时,日产量为c时,利润最大.
设m是常数,集合
(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有的实数x都有意义;
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值;
(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不于1.
正确答案
解:(1),
当m∈M,即 m>1时,恒成立,
故f(x)的定义域为R.
(2)设,
∵y=log3U是增函数,
∴当U最小时f(x)最小.
而,显然当x=2m时,U的最小值为
,
此时.
(3)m∈M时,,当且仅当m-1=1时,即m=2时,等号成立,
所以,即函数f(x)的最小值都不小于1.
解析
解:(1),
当m∈M,即 m>1时,恒成立,
故f(x)的定义域为R.
(2)设,
∵y=log3U是增函数,
∴当U最小时f(x)最小.
而,显然当x=2m时,U的最小值为
,
此时.
(3)m∈M时,,当且仅当m-1=1时,即m=2时,等号成立,
所以,即函数f(x)的最小值都不小于1.
上海某玩具厂生产x套吉祥物“福娃”所需成本费用为P元,且,而每套售出的价格为Q元,其中
,
(1)问:该玩具厂生产多少套“福娃”时,使得每套“福娃”所需成本费用最少?
(2)若生产出的“福娃”能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)
正确答案
解:(1)由题意,每套“福娃”所需成本费用为,
当,即x=100时,每套“福娃”所需成本费用最少为25元.(6分)
(2)利润为(9分).
由题意,(12分)
解得 a=25,b=30.(14分).
解析
解:(1)由题意,每套“福娃”所需成本费用为,
当,即x=100时,每套“福娃”所需成本费用最少为25元.(6分)
(2)利润为(9分).
由题意,(12分)
解得 a=25,b=30.(14分).
某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量x(单位:件,x∈N*,1≤x≤96)的关系如下:
又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元,每生产一件次品就损失元.
(1)将该厂日盈利额T(元)表示为日产量x的函数;
(2)为了获得最大的盈利,该厂的日产量应定为多少件?(注:次品率p=×100%,正品率=1-p)
正确答案
解:(1)因为 p=,x中次品有xp,正品有(x-xp)
所以该厂日盈利额T=a(x-xp)-xp=a(x-
) (1≤x≤96,x∈N*)
(2)T=a(x-)=a[104-(100-x)-
]≤64a
当且仅当100-x=,即x=80或120时,取等号
∵1≤x≤96,∴x=80时,该厂盈利最大.
解析
解:(1)因为 p=,x中次品有xp,正品有(x-xp)
所以该厂日盈利额T=a(x-xp)-xp=a(x-
) (1≤x≤96,x∈N*)
(2)T=a(x-)=a[104-(100-x)-
]≤64a
当且仅当100-x=,即x=80或120时,取等号
∵1≤x≤96,∴x=80时,该厂盈利最大.
已知方程x2+y2+2mx-2ny-2=0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则当正数m、n的乘积取得最大值时直线l的方程是______.
正确答案
x+y+2=0
解析
解:∵方程x2+y2-2mx+2my-2=0
∴x2+y2-2-2m(x-y)=0
解方程组
得或
∵A在第三象限
∴A(-1,-1)
∵点A在直线l:mx+ny+1=0
∴m+n=1
∵m>0,n>0
∴mn≤=
当且仅当m=n=时,正数m,n的乘积取得最大值
∴直线l:mx+ny+1=0为直线l:x+y+2=0
故答案为:x+y+2=0.
我省某房地产开发商用2016万元购得一块商业用地,计划在此地上建造一栋至少6层、每层2016平方米的楼房.经测算,如果将楼房建造x层,则每平方米的平均建造费用为(2016+100x)元,为了使楼房每平方米平均的综合费用最小,此楼房应建造多少层?
正确答案
解:设楼房应建为x层(x≥6),楼房每平方米的平均综合费为y元,
则y=(2016+100x)+=2016+100x+
≥2016+2=4016,
当且仅当=100x,即x=10时,y取最小值4016.
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为10层.
解析
解:设楼房应建为x层(x≥6),楼房每平方米的平均综合费为y元,
则y=(2016+100x)+=2016+100x+
≥2016+2=4016,
当且仅当=100x,即x=10时,y取最小值4016.
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为10层.
已知函数f(x)=2x+x-1的零点个数是a,,正数m,n满足m+n=2,则
的最小值为______.
正确答案
解析
解:∵函数f(x)=2x+x-1的零点个数为1
∴a=1
,=(4x2+x)|01=5
=
=
(m+n)(
)=3+
≥3+
当且仅当n=m时取等号
∴的最小值为
故答案为:
已知实数a,b>0,a,b的等差中项为,设
,则m+n的最小值为( )
正确答案
解析
解:∵a>0,b>0,a,b的等差中项是,
∴a+b=1
又∵m+n=a+b+=1+
+
=
当且仅当a=b时,等号成立,
∴m+n取得最小值5
故选C.
特种运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶在500千米的路段上(50≤x≤a),a为公路的最高限速(a>50),假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时84元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式
(2)当卡车以什么速度行驶时,这次行车的总费用最低.
正确答案
解:(1)由题意得,
y=[6(2+)+84]
=+
,(50≤x≤a);
(2)当a<80时,
易知y=+
在[50,a]上是减函数;
故当卡车以每小时a千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.
当a≥80时,+
≥2
=120
;
(当且仅当=
,即x=80时,等号成立);
则当卡车以每小时80千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.
解析
解:(1)由题意得,
y=[6(2+)+84]
=+
,(50≤x≤a);
(2)当a<80时,
易知y=+
在[50,a]上是减函数;
故当卡车以每小时a千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.
当a≥80时,+
≥2
=120
;
(当且仅当=
,即x=80时,等号成立);
则当卡车以每小时80千米的速度行驶时,这次行车的总费用最低.
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