基本不等式_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

A

解析

解：∵实数x，y满足x2+y2 +xy=1，即（x+y）2=1+xy．

再由 xy≤，可得（x+y）2=1+xy≤1+，

解得（x+y）2≤，∴-≤x+y≤，故 x+y的最大值为=，

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

设a＞b＞0，则的最小值是______．

正确答案

4

解析

解：==≥2+2=4，

当且仅当ab=1，a（a-b）=1即a=，b=时等号成立，

故答案为4．

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题型：单选题

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单选题

已知x＞0，则函数y=的最小值为（　　）

A2

B3

C4

D5

正确答案

B

解析

解：由x＞0，函数y=

=4x+-1≥2-1=3．

当且仅当4x=即x=时，取得最小值，且为3．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，假设墙有足够长．

（1）若篱笆的总长为40米，则这个矩形的长、宽各为多少米时，菜园的面积最大？

（2）若菜园的面积为32平方米，则这个矩形的长、宽各为多少米时，篱笆的总长最短？

正确答案

解：设矩形菜园的一边长为xm，矩形菜园的另一边长为ym，

（1）由题知x+2y=40，…（2分）

由于，

∴S=xy≤200，当且仅当x=2y时等号成立． …（4分）

由

故这个矩形的长为20m，宽为10m时，菜园的面积最大为200m2．…（6分）

（2）由条件知S=xy=32，l=x+2y．

∵，当且仅当x=2y时等号成立． …（10分）

由

故这个矩形的长为8m、宽为4m时，可使篱笆的总长最短． …（12分）

解析

解：设矩形菜园的一边长为xm，矩形菜园的另一边长为ym，

（1）由题知x+2y=40，…（2分）

由于，

∴S=xy≤200，当且仅当x=2y时等号成立． …（4分）

由

故这个矩形的长为20m，宽为10m时，菜园的面积最大为200m2．…（6分）

（2）由条件知S=xy=32，l=x+2y．

∵，当且仅当x=2y时等号成立． …（10分）

由

故这个矩形的长为8m、宽为4m时，可使篱笆的总长最短． …（12分）

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题型：简答题

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简答题

一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（）2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

正确答案

解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，

由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，

因此，t=+≥2=10．

当且仅当=，即x=80时取“=”．

故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．

解析

解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，

由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，

因此，t=+≥2=10．

当且仅当=，即x=80时取“=”．

故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．

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题型：填空题

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填空题

若正数x，y满足xy=x+y+3，，则使xy≥a恒成立a的取值范围是______．

正确答案

（-∞，9]

解析

解：∵正数x，y，满足x+y≥2，xy=x+y+3，

∴xy-2-3≥0

∴≥3或≤-1（舍去）

∴xy≥9，使xy≥a恒成立，所以a≤9．

故答案为：（-∞，9]．

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题型：简答题

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简答题

要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为24500cm2四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告牌面积最小？并求出最小面积．

正确答案

解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=12250①；

广告牌的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0，

广告牌的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=25000+40b+25a≥=32000，

当且仅当25a=40b时，等号成立，此时，代入①式，得a=140，∴b=87.5；

即当a=140，b=87.5．时，S取得最小值32000；

故广告牌的高为160cm，宽为200cm时，可使广告牌的面积最小，最小值为32000cm2．

解析

解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=12250①；

广告牌的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0，

广告牌的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=25000+40b+25a≥=32000，

当且仅当25a=40b时，等号成立，此时，代入①式，得a=140，∴b=87.5；

即当a=140，b=87.5．时，S取得最小值32000；

故广告牌的高为160cm，宽为200cm时，可使广告牌的面积最小，最小值为32000cm2．

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题型：简答题

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简答题

现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元，

（1）把全程运输费用y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；

（2）为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？

正确答案

解：（1）设每小时燃料费用为m元，则m=0.6x2（0＜x≤35）、由题意，全程所用的时间为小时，所以，xÎ（0，35]，

故所求的函数为，x∈（0，35]，

（2）以下讨论函数，x∈（0，35]的单调性：，x∈（0，35]时，y/＜0，

∴函数，x∈（0，35]是减函数，

故当轮船速度为35海里/小时，所需成本最低．

解析

解：（1）设每小时燃料费用为m元，则m=0.6x2（0＜x≤35）、由题意，全程所用的时间为小时，所以，xÎ（0，35]，

故所求的函数为，x∈（0，35]，

（2）以下讨论函数，x∈（0，35]的单调性：，x∈（0，35]时，y/＜0，

∴函数，x∈（0，35]是减函数，

故当轮船速度为35海里/小时，所需成本最低．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•黑龙江期末）函数y=的最小值是______．

正确答案

解析

解：函数y==

=+

=（+）+

≥2+=．

当且仅当=，即有x=0，取得等号．

则函数的最小值为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．

（Ⅰ）根据已知数据填写下表：

（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；

（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？

正确答案

解：（Ⅰ）根据已知数据填写下表：

（Ⅱ）设每天食用xg食物A，yg食物B，那么，即；

（Ⅲ）作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

考虑总成本为z=，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=取得最小值．

当直线z=经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．

解方程组，得M的坐标为x=500，y=125，

所以zmin=20．

答：每天食用食物A为500g，食物B为125g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为20元．

解析

解：（Ⅰ）根据已知数据填写下表：

（Ⅱ）设每天食用xg食物A，yg食物B，那么，即；

（Ⅲ）作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

考虑总成本为z=，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=取得最小值．

当直线z=经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．

解方程组，得M的坐标为x=500，y=125，

所以zmin=20．

答：每天食用食物A为500g，食物B为125g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为20元．

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