- 基本不等式
- 共6247题
（Ⅰ）设AD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里？请予以证明．
正确答案
解：（Ⅰ）在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE，①，
又S△ADE=
∴AE=
∴x≥1，
②代入①得y2=x2+（
∴y=
（Ⅱ）如果DE是水管y=
当且仅当x2=
故DE∥BC且AD=
解析
解：（Ⅰ）在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE，①，
又S△ADE=
∴AE=
∴x≥1，
②代入①得y2=x2+（
∴y=
（Ⅱ）如果DE是水管y=
当且仅当x2=
故DE∥BC且AD=
已知函数f（x）=x|x-4|（x∈R），若存在正实数k，使得方程f（x）=k有两个根a、b，其中2＜a＜b，则ab-2（a+b）的取值范围是（ ）
A（2，2+2
B（-4，0）
C（-2，2）
D（-4，2）
正确答案
解析
解：当x＞4时，x2-4x-k=0，∴b=2+
当x＜4时，x2-4x+k=0，∴a=2+
由ab-2（a+b）=-4+
故选：B．
已知x＞0，y＞0，且4x+2y-xy=0，则x+y的最小值为______．
正确答案
解析
解：已知x＞0，y＞0，且4x+2y-xy=0，可得
利用基本不等式：则x+y=（x+y）（
则x+y的最小值为
故答案为
已知正数a、b、c满足a+b+c=1，则
正确答案
解析
解：由正数a、b、c满足a+b+c=1，
可得2=（a+b）+（b+c）+（c+a），
即有
≥
当且仅当a=b=c=
故答案为：
（2015春•哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则
正确答案
解析
解：∵a+b+c=1，
∴
故选C
（1）写出y关于r的函数表达式，并求出此函数的定义域；
（2）求该容器总建造费用最小时r的值．
正确答案
解：（1）由题意，V=πr2h，∴h=
∵圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元，
∴该容器的总建造费用y=a×2πr2+b×2πrh=
（2）y=2πar2+
当且仅当2πar2=
解析
解：（1）由题意，V=πr2h，∴h=
∵圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元，
∴该容器的总建造费用y=a×2πr2+b×2πrh=
（2）y=2πar2+
当且仅当2πar2=
正确答案
1
解析
解：根据题意，当开发面积最大值时，三角形OMN的面积就最小，
设MN与曲线y=1-
对函数线y=1-
所以，切线MN的斜率kMN=-
直线MN的方程为：y-（1-
令y=0得，xM=
S△MON=
=
=
≥
当且仅当：16m3=
即三角形MON面积的最小值为
此时，OM=
故答案为：1．
说明：本题也可以运用导数研究三角形MON面积的最小值．
（2014秋•唐山校级月考）若对任意的x＞1，
正确答案
6
解析
解：对任意的x＞1，
∴（
对任意的x＞1，
a的最大值是：6．
故答案为：6
已知函数
（1）若x＞0，求函数f（x）值域；
（2）若∀x1∈R，∃x2∈[-1，1]使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）x＞0，函数
∵
∴
∴x＞0，函数f（x）值域：（0，2]．
（2）x＞0，f（x）∈（0，2]．
x＜0，函数f（x）∈[-2，0），
x=0时，f（x）=0．
∴x∈R时，f（x）∈[-2，2]
又
由fmin（x）≤gmin（x）知
当a≤-1时，1+3a≤-2，a≤-1．
当-1＜a＜1时，-a2+a≤2，a∈R
当a≥1时，1-a≤-2，∴a≥3
综上得a≤-1或a≥3
解析
解：（1）x＞0，函数
∵
∴
∴x＞0，函数f（x）值域：（0，2]．
（2）x＞0，f（x）∈（0，2]．
x＜0，函数f（x）∈[-2，0），
x=0时，f（x）=0．
∴x∈R时，f（x）∈[-2，2]
又
由fmin（x）≤gmin（x）知
当a≤-1时，1+3a≤-2，a≤-1．
当-1＜a＜1时，-a2+a≤2，a∈R
当a≥1时，1-a≤-2，∴a≥3
综上得a≤-1或a≥3
正确答案
解：由题意可知直线l的斜率存在且小于零，
故可设直线l的方程为 y-2=k（x-6）（k＜0）
令x=0，则y=2-6k，令y=0，则
∴
由k＜0，知-k＞0，∴
∴S=2-6k+
当且仅当
∴s的最小值为
此时直线l的方程为
解析
解：由题意可知直线l的斜率存在且小于零，
故可设直线l的方程为 y-2=k（x-6）（k＜0）
令x=0，则y=2-6k，令y=0，则
∴
由k＜0，知-k＞0，∴
∴S=2-6k+
当且仅当
∴s的最小值为
此时直线l的方程为
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