- 基本不等式
- 共6247题
如图：设一正方形ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，使A、B、C、D四点重合，记为A点．恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．
正确答案
解：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，设边长为a，
∵正方形ABCD边长为2分米，∴AH=
∴正四棱锥的棱长a=
∴PO=
∴V=
（II）∵AH=
∴PQ=
∴S=4×
=2×PQ×AH
=2×
=
∵S=
而tanx＞0，故s＞0
∵S等于2时三角形APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ等于90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，∴S的范围为（0，2）．
解析
解：（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，设边长为a，
∵正方形ABCD边长为2分米，∴AH=
∴正四棱锥的棱长a=
∴PO=
∴V=
（II）∵AH=
∴PQ=
∴S=4×
=2×PQ×AH
=2×
=
∵S=
而tanx＞0，故s＞0
∵S等于2时三角形APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ等于90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，∴S的范围为（0，2）．
云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡，牵动了全国人民的心，为了安置广大灾民，救灾指挥部决定建造一批简易房，每间简易房是地面面积为100m2，墙高为3m的长方体样式，已知简易房屋顶每1m2的造价为500元，墙壁每1m2的造价为400元．问怎样设计一间简易房地面的长与宽，能使一间简易房的总造价最低？最低造价是多少？
正确答案
解：设地面的长为xm，宽为
则总造价
50000+20×2400=98000
所以，当且仅当
答：设计地面长宽均为10m时，造价最低，为98000元
解析
解：设地面的长为xm，宽为
则总造价
50000+20×2400=98000
所以，当且仅当
答：设计地面长宽均为10m时，造价最低，为98000元
（1）现有可围36m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
（2）若使每间虎笼的面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
正确答案
解：（1）设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy
∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，∴18≥2
当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值
∴每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时，可使每间虎笼的面积最大；
（2）每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，则S=xy=24，∴x=
∴L=4x+6y=
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．…（12分）
解析
解：（1）设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy
∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，∴18≥2
当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值
∴每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时，可使每间虎笼的面积最大；
（2）每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，则S=xy=24，∴x=
∴L=4x+6y=
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．…（12分）
已知函数y=f（x）=
正确答案
解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=
当且仅当x=
由f（1）＜
∴2b2-5b+2＜0，解得
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+
解析
解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=
当且仅当x=
由f（1）＜
∴2b2-5b+2＜0，解得
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+
下列不等式中，不能恒成立的一个是（ ）
A
B
C（a2+1）（b2+1）＞（ab+1）2
D|a+b|-|a-b|≤2|b|
正确答案
解析
解：∵
∴
∴x2
∵（a2+1）（b2+1）=a2b2+a2+b2+1，
（ab+1）2=a2b2+2ab+1，
a2+b2≥2ab（a=b时等号成立）
∴（a2+1）（b2+1）≥（ab+1）2（a=b时等号成立）
故可以判断C选项不恒成立，
故选：C．
某公司欲制作容积为16米3，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米1000元，侧面造价是每平方米500元，记该容器底面一边的长为x米，容器的总造价为y元．
（1）试用x表示y；
（2）求y的最小值及此时该容器的底面边长．
正确答案
解：（1）由容器底面一边的长为x米，设宽为zm，
则x•z•1=16，即xz=16，即z=
则该容器的造价y=1000xz+500（x+x+z+z）
=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+
（2）由16000+1000（x+
≥16000+1000×2
=16000+8000=24000．
（当且仅当x=z=4时，等号成立）
故该容器的最低总价是24000元，
此时该容器的底面边长为4m．
解析
解：（1）由容器底面一边的长为x米，设宽为zm，
则x•z•1=16，即xz=16，即z=
则该容器的造价y=1000xz+500（x+x+z+z）
=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+
（2）由16000+1000（x+
≥16000+1000×2
=16000+8000=24000．
（当且仅当x=z=4时，等号成立）
故该容器的最低总价是24000元，
此时该容器的底面边长为4m．
做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
正确答案
解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x=256，
其表面积S=4ax+a2=
当且仅当a=8即x=4时，S取得最小值．
解析
解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x=256，
其表面积S=4ax+a2=
当且仅当a=8即x=4时，S取得最小值．
已知P、A、B三点共线，且
正确答案
9
解析
解：∵P、A、B三点共线，且
∴m+n=1，
∵mn＞0，
∴
当且仅当
∴
故答案为：9．
（1）已知x＜0，求函数
（2）设x＞-1，求函数
正确答案
解：（1）∵x＜0，∴
当且仅当-x=
（2）∵x＞-1，∴x+1＞0，∴
当且仅当x+1=
解析
解：（1）∵x＜0，∴
当且仅当-x=
（2）∵x＞-1，∴x+1＞0，∴
当且仅当x+1=
已知m，n∈R，f（x）=x2-mnx．
（1）当n=1时，
①解关于x的不等式f（x）＞2m2；
②若关于x的不等式f（x）+4＞0在x∈[1，3]上有解，求m的取值范围；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n=1，证明不等式
正确答案
解：（1）①当n=1时，不等式f（x）＞2m2，即x2-mx-2m2＞0化为（x-2m）（x+m）＞0；
对m分类讨论可得：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＞2m或x＜-m}；
当m=0时，不等式化为x2＞0，其解集为{x|x≠0}；
当m＜0时，不等式的解集为{x|x＞-m或x＜2m}．
②关于x的不等式f（x）+4＞0化为x2-mx+4＞0，即此不等式在x∈[1，3]上有解．
⇔m＜
令g（x）=
令g′（x）=0解得x=2．令g′（x）＞0，解得2＜x＜3，函数g（x）在此区间上单调递增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
函数g（x）在此区间上单调递减．由g（1）=5，g（3）=
∴m＜5．
∴m的取值范围为（-∞，5）；
（2）证明：
=
∵m＞0，n＞0，且m+n=1，
∴
∴
∴
∴不等式
解析
解：（1）①当n=1时，不等式f（x）＞2m2，即x2-mx-2m2＞0化为（x-2m）（x+m）＞0；
对m分类讨论可得：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＞2m或x＜-m}；
当m=0时，不等式化为x2＞0，其解集为{x|x≠0}；
当m＜0时，不等式的解集为{x|x＞-m或x＜2m}．
②关于x的不等式f（x）+4＞0化为x2-mx+4＞0，即此不等式在x∈[1，3]上有解．
⇔m＜
令g（x）=
令g′（x）=0解得x=2．令g′（x）＞0，解得2＜x＜3，函数g（x）在此区间上单调递增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
函数g（x）在此区间上单调递减．由g（1）=5，g（3）=
∴m＜5．
∴m的取值范围为（-∞，5）；
（2）证明：
=
∵m＞0，n＞0，且m+n=1，
∴
∴
∴
∴不等式
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