- 基本不等式
- 共6247题
已知函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．
正确答案
解析：（Ⅰ）点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，-1）
结合题设知，可得
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log2x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log2x）-[-1+log2（x-1）]=
∵
当且仅当
而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．
解析
解析：（Ⅰ）点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，-1）
结合题设知，可得
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log2x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log2x）-[-1+log2（x-1）]=
∵
当且仅当
而函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增，则
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．
（理）若点P（x，y）在直线5x+12y-13=0上，则x2+y2的最小值是______．
正确答案
1
解析
解：x2+y2=
又点P（x，y）在直线5x+12y-13=0上，
∴原点P到原点距离的最小值即为原点到直线的距离：d=
∴x2+y2的最小值是1，
故答案为1．
已知等腰三角形的周长是21（定数），问它的腰多长其面积为最大？并求其最大的面积．
正确答案
解：设△ABC的腰长为x，底边长为2y．（x＞y）．
则2x+2y=21，
S△ABC=
令
∴S△ABC=
f′（t）=
令f′（t）＞0，则
∴当t=
∴此时y=
∴x=7，y=
解析
解：设△ABC的腰长为x，底边长为2y．（x＞y）．
则2x+2y=21，
S△ABC=
令
∴S△ABC=
f′（t）=
令f′（t）＞0，则
∴当t=
∴此时y=
∴x=7，y=
已知a＞0，b＞0，
正确答案
18
解析
解：∵a＞0，b＞0，
∴a+b=（a+b）（
=5+
当且仅当
结合
∴ab=3×6=18
故答案为：18
正实数a，b满足：a+b+ab=3，则a+b有（ ）
A最大值2
B最小值2
C最大值
D最小值
正确答案
解析
解；∵正实数a，b满足：a+b+ab=3，
∴3
因式分解为（a+b+6）（a+b-2）≥0，又a+b＞0．
解得a+b≥2，当且仅当a=b=1时取等号．
∴a+b有最小值2．
故选：B．
已知f（x）=log2（x-1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是______．
正确答案
9
解析
解：由f（x）=log2（x-1），且实数m，n满足f（m）+f（n）=2，
所以log2（m-1）+log2（n-1）=2．
则
由①得（m-1）（n-1）=4，即mn-（m+n）=3．
所以3=mn-（m+n）
即
因为m＞1，n＞1．所以
故答案为9．
已知x＞0，则y=x+
正确答案
解析
解：∵x＞0，
∴y=x+
∴y=x+
故选：B．
已知函数f（x）=23x-1+1过定点A，且点A在直线l：3mx+ny=4（m＞0，n＞0）上，则
正确答案
[1，+∞）
解析
解：∵
∴函数f（x）=23x-1+1过定点A
又点A在直线l：3mx+ny=4（m＞0，n＞0）上，
∴3m×
∴
当且仅当m=2n=2时取等号．
故
故答案为：[1，+∞）．
x＞0，y＞0，
正确答案
解析
解：∵x＞0，y＞0，
∴6x+3y=1，
∴
当且仅当 
故答案为 
已知：a＞0，b＞0，且a+b=1．求证
正确答案
证明：由于a＞0，b＞0，且a+b=1．
则
当且仅当
所以
解析
证明：由于a＞0，b＞0，且a+b=1．
则
当且仅当
所以
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