- 基本不等式
- 共6247题
若x，y∈（0，+∞）且4x+9y-xy=0，则x+y的最小值为______．
正确答案
25
解析
解：∵4x+9y-xy=0，
∴4x+9y=xy，又x，y∈（0，+∞），
∴
∴（x+y）（
故答案为：25．
（2015秋•连云港期末）已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为______．
正确答案
7
解析
解：∵xy=2x+y+2，∴y=
∴x+y=x+
=x-1+
当且仅当x-1=
故答案为：7．
正确答案
100
解析
解：设矩形的长为x，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是S，
由题意可得S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时d=
故答案为：100
已知a+b=t（a＞0，b＞0），t为常数，且ab的最大值为2，则t=______．
正确答案
2
解析
解：∵a+b=t（a＞0，b＞0），
由基本不等式可得，ab
∵ab的最大值为2，
∴
∴t=2
故答案为：2
设a，b，c均为正数，证明：
正确答案
证明：∵
即得
解析
证明：∵
即得
（2014秋•徐汇区校级期中）设x＞0，y＞0，
正确答案
6+2
解析
解：∵x＞0，y＞0，
∴2x+y=2（2x+y）（
=6+2（
当且仅当
故答案为：6+2
已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范围是______．
正确答案
解析
解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），
∴a+2b=1．
∴2a+4b≥
∴2a+4b的取值范围是
故答案为：
正确答案
解析
解：连接AD，BD，OD，由直径所对的圆周角为直角得，∠ADB=90°，
∵AC=a，CB=b，∴OD=
在直角三角形DAC中，tan∠DAC=
在直角三角形BCD中，tan∠DBC=
又∠DAC+∠DBC=90°，
∴
由于CD≤OD，故
∵EO⊥AB，EO=
∴EC=
又EO=OD≤EC，
∴
∴
故答案为：
已知a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2的最小值为______．
正确答案
2
解析
解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，
∴a2+b2≥2．当且仅当a=b=1时取等号．
∴a2+b2的最小值为2．
故答案为：2．
解下列问题：
（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b=1，求ab的最大值；
（2）已知x＞2，求x+
正确答案
解：（1）∵a＞0，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2
当且仅当4a=b=
∴
∴ab≤
所以ab的最大值为
（2）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴x+
≥2
当且仅当x-2=
所以x+
解析
解：（1）∵a＞0，b＞0，4a+b=1，
∴1=4a+b≥2
当且仅当4a=b=
∴
∴ab≤
所以ab的最大值为
（2）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴x+
≥2
当且仅当x-2=
所以x+
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