基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值；

（2）已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值；

（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值；

（4）若-4＜x＜1，求的最大值．

正确答案

解：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=++10≥6+10=16．

当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，∴x=4，y=12时，（x+y）min=16．

（2）∵x＜，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1，

当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1．

（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴+=1，

∴x+y=（x+y）=10++

=10+2≥10+2×2×=18，

当且仅当=，即x=2y时取等号，

又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，

∴当x=12，y=6时，x+y取最小值18．

（4）=•=

=-

∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，＞0．

从而≥2

-≤-1

当且仅当-（x-1）=，

即x=2（舍）或x=0时取等号．

即=-1．

解析

解：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=++10≥6+10=16．

当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，∴x=4，y=12时，（x+y）min=16．

（2）∵x＜，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1，

当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1．

（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴+=1，

∴x+y=（x+y）=10++

=10+2≥10+2×2×=18，

当且仅当=，即x=2y时取等号，

又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，

∴当x=12，y=6时，x+y取最小值18．

（4）=•=

=-

∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，＞0．

从而≥2

-≤-1

当且仅当-（x-1）=，

即x=2（舍）或x=0时取等号．

即=-1．

1

题型：单选题

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单选题

设a＞0，b＞0．若4a+b=ab，则a+b的最小值是（　　）

A1

B5

C7

D9

正确答案

D

解析

解：∵a＞0，b＞0，4a+b=ab，∴，解得a＞1．

∴a+b=a+=+5=9，当且仅当a=3，b=6时取等号．

∴a+b的最小值是9．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

已知下列函数：

①； ②y=log2x+logx2（x＞0，x≠1）；③；

④；⑤y=3x+3-x； ⑥；

其中最小值为2的函数是______（填入所有正确命题的序号）．

正确答案

①③④⑤

解析

解：①y=|x|+=2，当且仅当|x|=1时取等号，满足最小值为2．

②，当0＜x＜1时，lgx＜0，y＜0，因此不满足最小值为2的条件．

③-2=2，当且仅当x=4时取等号，满足最小值为2．

④=≥2，当且仅当x=0时取等号，满足最小值为2．

⑤y=≥2，当且仅当x=0时取等号．

⑥当x＜0时，y=x+-2=-4，不满足最小值为2的条件．

综上可知：只有①③④⑤正确．

故答案为：①③④⑤．

1

题型：简答题

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简答题

求函数y=+2的值域．

正确答案

解：∵函数y=+2，

∴设t=3x，

∴函数y=+2=+2，t＞0

∵t≥2，0＜

∴y=+2，t＞0的值域为（2，）．

解析

解：∵函数y=+2，

∴设t=3x，

∴函数y=+2=+2，t＞0

∵t≥2，0＜

∴y=+2，t＞0的值域为（2，）．

1

题型：简答题

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简答题

设=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则+的最小值是______．

正确答案

解：，

∵A，B，C三点共线，

∴2（a-1）-（-b-1）=0，即2a+b=1，

又a＞0，b＞0，O，

∴，当且仅当时取等号．

∴+的最小值是8．

故答案为：8．

解析

解：，

∵A，B，C三点共线，

∴2（a-1）-（-b-1）=0，即2a+b=1，

又a＞0，b＞0，O，

∴，当且仅当时取等号．

∴+的最小值是8．

故答案为：8．

1

题型：填空题

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填空题

若x，y∈R+，+=1，则2x+y的最小值是______．

正确答案

2+2

解析

解：∵+=1

∴2x+y=（2x+y+1）-1=[2x+（y+1）]（+）-1=（2+++1）-1≥2+2=2+2

（当且仅当=取等号．）

则2x+y的最小值是2+2．

故答案为2+2．

1

题型：单选题

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单选题

若x＞0，则有（　　）

A最小值4

B最小值3

C最大值4

D最大值3

正确答案

A

解析

解：∵x＞0，由基本不等式可得≥=4

当且仅当x=，即x=1时取等号，即式子有最小值4．

故选A

1

题型：单选题

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单选题

已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（　　）

A8

B6

C3

D4

正确答案

D

解析

解：∵点（x，y）在直线x+2y=3上移动，∴x+2y=3．

∴2x+4y≥=2==4，当且仅当x=2y=时取等号．

∴2x+4y的最小值是4．

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•九江校级期末）函数y=x+（x＞0）的最小值是（　　）

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

解析

解：∵x＞0，∴y=x+≥2=4，

当且仅当x=即x=2时取等号，

故选：B

1

题型：填空题

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填空题

已知x＞1，则函数的最小值是______．

正确答案

5

解析

解：∵x＞1，

∴x-1＞0，

∴f（x）=x+=（x-1）++1≥2+1=5，（当且仅当x-1=，即x=3时取“=”）．

故答案为：5．

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