- 基本不等式
- 共6247题
已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于______．
正确答案
解析
解：∵sin2α+sin2β+sin2γ=1，
∴3-（cos2α+cos2β+cos2γ）=1．
∴cos2α+cos2β+cos2γ=2≥3
∴cos2αcos2βcos2γ≤（
∴cosαcosβcosγ≤
答案：
若正数x，y满足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．
正确答案
解：（1）法一：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=
∴3x+4y=3x+
f′（x）=3+
∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＞x＞
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值为1．
法二：正数x，y满足x+3y=5xy，∴
∴3x+4y=
∴3x+4y的最小值为1．
（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴5xy≥
解得：xy≥
∴xy的最小值为
解析
解：（1）法一：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=
∴3x+4y=3x+
f′（x）=3+
∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＞x＞
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值为1．
法二：正数x，y满足x+3y=5xy，∴
∴3x+4y=
∴3x+4y的最小值为1．
（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴5xy≥
解得：xy≥
∴xy的最小值为
（2014•漳州模拟）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗和边框粗细），则框架的最大面积为（ ）
正确答案
解析
解：设窗户的高为x米，宽为y米，则由题意可得2x+4y=12，
利用基本不等式可得12≥2
即xy≤
故窗户的面积S=xy的最大值等于
故选D．
已知圆x2+（y-1）2=2上任一点P（x，y），其坐标均使得不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围是______．
正确答案
[1，+∞）
解析
解：∵x+y+m≥0，即m≥-x-y恒成立，∴只须求出-x-y的最大值即可
将圆x2+（y-1）2=2的方程两边同时除以2，得
∴（x+y-1）2≤4，解得-2≤x+y-1≤2，即-1≤x+y≤3，
∴-3≤-x-y≤1，
∴-x-y的最大值是1，
则m≥1，
所以实数m的取值范围是[1，+∞）．
已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是______．
正确答案
9
解析
解：∵a＞0，b＞0，2ab=a+b+12，
又∵
∴2ab=a+b+12
∴（
∴
∴ab≥9．
故ab的最小值为：9．
故答案为：9．
下列不等式①a2+1＞2a；②a2+4≥4a；③|
正确答案
解析
解：对于①：当a=1时，此时该不等式不成立；
对于②③均成立，
对于④：
故选：C．
已知0＜x＜
正确答案
解：y=5x（1-4x）
=
≤
（当且仅当4x=1-4x，即x=
故函数y=5x（1-4x）的最大值为
解析
解：y=5x（1-4x）
=
≤
（当且仅当4x=1-4x，即x=
故函数y=5x（1-4x）的最大值为
若正实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是______．
正确答案
解：∵正实数a，b满足ab=a+b+3，
∴3+a+b=ab
令a+b=t＞0，则t2-4t-12≥0，
解得t≥6．
即a+b的取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．
解析
解：∵正实数a，b满足ab=a+b+3，
∴3+a+b=ab
令a+b=t＞0，则t2-4t-12≥0，
解得t≥6．
即a+b的取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．
今欲制作一个容器为V的无盖圆柱形的桶，底用铝板，侧壁用木板，已知每平方米铝板价钱是木板价钱的5倍，则怎样才能使材料费用最少？
正确答案
解：设桶的底面半径为R，桶高为h，材料费用为W，每平方米木板价钱为a，则V=πR2h，
∴h=
∴W=2πha+πR2•5a=a（
∴V′=a（10πR-
函数在（0，
∴R=
此时h=
解析
解：设桶的底面半径为R，桶高为h，材料费用为W，每平方米木板价钱为a，则V=πR2h，
∴h=
∴W=2πha+πR2•5a=a（
∴V′=a（10πR-
函数在（0，
∴R=
此时h=
已知直线x+4y=2与x轴，y轴分别交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则
A
B4
C
D5
正确答案
解析
解：由题意知a+4b=2，且a＞0，b＞0，
所以
当且仅当
故选：C．
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