基本不等式_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

髙先生新购买了辆小汽车，汽车的一些参数如图所示（单位：毫米），他计划把车放在车库地面的中间，四周边缘外前后左右各留半米且上方留空一米，则该车库的体积（保留小数点后两位数字）至少为（　　）

A11.64立方米

B36.28立方米

C38.60立方米

D40.70立方米

正确答案

C

解析

解：该车的长为1005+2665+910=4580mm=4.58m，

宽为2240mm=2.24m，最高处为1135mm=1.135m，

则该车库的体积至少为5.58×3.24×2.135≈38.60m3，

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

已知二次函数f（x）=ax2+2x+c 的值域是[0，+∞），则的最大值是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

解：因为二次函数f（x）=ax2+2x+c的值域为[0，+∞），

所以 ⇒ac=1⇒c=，

所以==≤

（当且仅当a=1时取等号）

则的最大值是1

故选：A

1

题型：填空题

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填空题

已知△ABC的三边长a、b、c，满足b+c＜2a，c+a≤2b，则的取值范围______．

正确答案

[4，]

解析

解：由三角形的三边关系可得b+c＞a，c+a＞b，

结合已知可得a＜b+c＜2a，①，b＜c+a≤2b，②

由①可得-2a＜-（b+c）＜-a，③

②+③可得b-2a＜a-b＜2b-a，

由b-2a＜a-b可得3a＞2b，可得＜，

由a-b＜2b-a可得2a＜3b，可得＞，

∴综合可得的取值范围为（，），

∴==++2≥2+2=4，

当且仅当=即a=b时取等号，即的最小值为4；

令=t，则t∈（，），则原式=t++2，

由函数的单调性可知t++2在t∈（，1）单调递减，在t∈（1，）单调递增，

当t=时可得t++2=，当t=时可得t++2=，

∴的最大值为；

∴的取值范围为[4，]

故答案为：[4，]

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=log2x（x＞0）的反函数为g（x），且有g（a）g（b）=8，若a＞0，b＞0，则+的最小值为（　　）

A9

B6

C3

D2

正确答案

C

解析

解：f（x）=log2x的反函数为g（x）=2x

∴g（a）g（b）=2a2b

∵g（a）g（b）=8

∴a+b=3，

∴+=（+）（a+b）=（1+4++）≥（1+4+4）=3，

故选择为C

1

题型：填空题

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填空题

某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n年的保养维修费力2000（n-1）元，使用它直到“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少）为止，则最佳报废时间为______年．

正确答案

10

解析

解：由题意，n年的保养维修费为2000（1-1）+2000（2-1）+…+2000（n-1）=1000n（n-1）

∴n年的年平均耗资为y=

∴y=20000-1000=19000

当且仅当，即n-10时n年的年平均耗资最少，最少为19000元

∴最佳报废时间为10年

故答案为：10

1

题型：简答题

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简答题

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞5）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

正确答案

解：（Ⅰ）由体积V=πr3+πr2l=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2

=2π•，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y′=8π（c-2）r-，

=（r3-），0＜r≤2

由于c＞5，所以c-2＞0

当r3-=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=（r-m）（r2+rm+m2）

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=．

解析

解：（Ⅰ）由体积V=πr3+πr2l=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2

=2π•，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y′=8π（c-2）r-，

=（r3-），0＜r≤2

由于c＞5，所以c-2＞0

当r3-=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=（r-m）（r2+rm+m2）

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=．

1

题型：单选题

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单选题

已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（　　）

A10

B9

C8

D7

正确答案

B

解析

解：∵a＞0，b＞0，

∴2a+b＞0

∵，

∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，

∵不等式2a+b≥4m恒成立，

∴36≥4m，

∴m≤9，

∴m的最大值为9，

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

（1）已知f（x）=-3x2+a（6-a）x+6．解关于a的不等式f（1）＞0；

（2）设x、y＞0，x+y+xy=2，求x+y的最小值．

正确答案

解：（1）f（1）=-a2+6a+3＞0，

∴＜a＜3+2，

即不等式的解集为{x|＜a＜3+2}；

（2）∵x，y∈R+，

∴xy≤（当且仅当x=y时成立）

∵x+y+xy=2，

∴xy=2-（x+y）

∴2-（x+y）≤

解得x+y≥2-2或x+y≤-2-2（舍去）

∴x+y的最小值为2-2．

解析

解：（1）f（1）=-a2+6a+3＞0，

∴＜a＜3+2，

即不等式的解集为{x|＜a＜3+2}；

（2）∵x，y∈R+，

∴xy≤（当且仅当x=y时成立）

∵x+y+xy=2，

∴xy=2-（x+y）

∴2-（x+y）≤

解得x+y≥2-2或x+y≤-2-2（舍去）

∴x+y的最小值为2-2．

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题型：简答题

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简答题

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8m2．问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？

正确答案

解：由题意得xy+x2=8，

∴y==（0＜x＜4）．

框架用料长度为，

l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4．

当（+）x=，即x=8-4时等号成立．

此时，x≈2.343，y=2≈2.828．

故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．

解析

解：由题意得xy+x2=8，

∴y==（0＜x＜4）．

框架用料长度为，

l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4．

当（+）x=，即x=8-4时等号成立．

此时，x≈2.343，y=2≈2.828．

故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．

1

题型：填空题

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填空题

已知x＞0，则x2+有最小值为______．

正确答案

3

解析

解：∵x＞0，

∴x2+=x2++≥3=3，

当且仅当x2=，即x=1时，x2+有最小值为3．

故答案为：3．

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