基本不等式_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若实数a，b满足a+2b=2，则3a+9b的最小值是（　　）

A6

B12

C2

D4

正确答案

A

解析

解：∵a+2b=2，

∴3a+9b≥==6，当且仅当a=2b=1时取等号．

∴3a+9b的最小值是6．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

若实数x，y，z满足x+2y+3z=a（a为常数），则x2+y2+z2的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2=a2，…（5分）

∴（x2+y2+z2）≥，当且仅当时取等号，…（8分）

则x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

函数f（x）=ax-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，则的最小值是______．

正确答案

25

解析

解：当x=1时，f（1）=a0+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．

∵点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．

∴==17+=25，当且仅当m=n=时取等号．

∴的最小值是25．

故答案为25．

1

题型：简答题

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简答题

已知半径为R的圆中，内接矩形为ABCD，求：

（1）矩形ABCD的周长的最大值；

（2）矩形ABCD的面积的最大值．

正确答案

解：（1）如图所示，

设∠BAC=α，

在Rt△ABC中，AC=2R，

∴AB=2Rcosα，BC=2Rsinα，

∴矩形ABCD的周长是

2（AB+BC）=4R（cosα+sinα）=4Rsin（α+），

当α=时，矩形ABCD的周长取得最大值4；

（2）矩形ABCD的面积是

S=AB•BC=2Rcosα•2Rsinα=2R2sin2α，

∴当α=时，矩形ABCD的面积取得最大值2R2．

解析

解：（1）如图所示，

设∠BAC=α，

在Rt△ABC中，AC=2R，

∴AB=2Rcosα，BC=2Rsinα，

∴矩形ABCD的周长是

2（AB+BC）=4R（cosα+sinα）=4Rsin（α+），

当α=时，矩形ABCD的周长取得最大值4；

（2）矩形ABCD的面积是

S=AB•BC=2Rcosα•2Rsinα=2R2sin2α，

∴当α=时，矩形ABCD的面积取得最大值2R2．

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题型：填空题

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填空题

已知x、y为正实数，且2x+y=1，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵x、y为正实数，且2x+y=1，

∴x=＞0，解得0＜y＜1．

∴==-2++=f（y），

f′（y）=-==，

可知：当y=-1时，函数f（y）取得极小值即最小值，

=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

设a＞0，b＞0，且a+b=．

（1）求a2+b2的最小值；

（2）是否存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2？说明理由．

正确答案

解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=，

∴=a+b≥2，∴0＜ab≤

当且仅当a=b=时，ab取最大值，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=-2ab，

令ab=x，0＜x≤，则函数y=-2x，

易判函数在0＜x≤单调递减，

∴当x=时，函数取最小值1；

（2）假设存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2，

即（a+b）2+（a+b）-2=0成立，即（a+b+2）（a+b-1）=0成立，

∴有a+b=1，或a+b=-2（舍去），

∴=a+b=1，即ab=1，这与0＜ab≤矛盾，

故不存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2

解析

解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=，

∴=a+b≥2，∴0＜ab≤

当且仅当a=b=时，ab取最大值，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=-2ab，

令ab=x，0＜x≤，则函数y=-2x，

易判函数在0＜x≤单调递减，

∴当x=时，函数取最小值1；

（2）假设存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2，

即（a+b）2+（a+b）-2=0成立，即（a+b+2）（a+b-1）=0成立，

∴有a+b=1，或a+b=-2（舍去），

∴=a+b=1，即ab=1，这与0＜ab≤矛盾，

故不存在a，b，使（a+b）（a+b+1）=2

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题型：单选题

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单选题

已知p3+q3=2，关于p+q的取值范围的说法正确的是（　　）

A一定不大于2

B一定不大于

C一定不小于

D一定不小于2

正确答案

A

解析

解：假设p+q＞2，则（p+q）3＞8，∴p3+q3+3p2q+3pq2＞8，又p3+q3=2，

∴pq（p+q）＞2=p3+q3，又p+q＞0，∴pq＞p2-pq+q2 ，

∴（p-q）2＜0，这与（p-q）2≥0相矛盾，故假设不成立，∴p+q≤2，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

当点（x，y）在函数y=-x+上移动时，z=3x+27y+1的最小值是（　　）

A3

B7

C1+2

D6

正确答案

B

解析

解：∵3x＞0，27y＞0

∴z=3x+27y+1≥2=

∵点（x，y）在函数y=-x+上移动

∴x+3y=2

∴，当且仅当x=3y，即时，取等号．

∴3x+27y+1≥7，即z=3x+27y+1的最小值是7

故选B．

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题型：单选题

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单选题

下列函数中，最小值为4的是（　　）

Af（x）=3x+4×3-x

Bf（x）=lgx+logx10

C

D

正确答案

A

解析

解：运用基本不等式对各选项考察如下：

对于A选项：f（x）=3x+4×3-x≥2=4，

当且仅当x=log32时，取得最小值4，故符合题意；

对于B选项：f（x）=lgx+logx10，只有当x∈（1，+∞）时，lgx，logx10才为正数，

才能运用基本不等式得，lgx+logx10≥2，故不合题意；

对于C选项：f（x）=x+，理由同上，

只有x＞0时，f（x）min=4，故不合题意；

对于D选项：不合题意，有两点不符，

其一，“正数”这一条件缺失，

其二：即使“正数”条件具备，也无法取“=”，故不合题意；

故答案为：A．

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题型：单选题

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单选题

已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（　　）

A.9

B

C5

D

正确答案

D

解析

解：由D，E，F三点共线可设

∵=（λ＞0），=μ（μ＞0）

∴===x

=

∵D为BC的中点

∴

∴即λ+μ=2

则=（）（λ+μ）=

当且仅当即时取等号

故选D

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正确答案

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