- 基本不等式
- 共6247题
设a、b∈R,a≠b,且a+b=2,则下列各式正确的是( )
正确答案
解析
解:∵a、b∈R,a≠b,且a+b=2
∴取a=0,b=2,则ab=0,=2
∴ab<1<
故选A.
已知的大小顺序是( )
正确答案
解析
解:∵a,b∈R+,
∴-
=
(1-
)=
•
≥0,
∴≥
;
由基本不等式得:a,b∈R+,≤
;
又-
=
≥0,
∴≥
,
∴≥
.
综上所述,a,b∈R+,≥
≥
≥
.
故选C.
设a,b∈R,且a+b=2,则()a+(
)b的最小值是( )
正确答案
解析
解:∵a+b=2,
∴()a+(
)b≥
=
=
=1.当且仅当a=b=1时取等号.
∴()a+(
)b的最小值是1.
故选:A.
已知a>0,b>0,且a+3b=ab,则ab的最小值为( )
正确答案
解析
解:∵a>0,b>0,且a+3b=ab,
∴>0,解得a>3.
∴ab==
=a-3+
+6≥
+6=12,当且仅当a=6(b=2)时取等号.
∴ab的最小值为12.
故选:B.
已知正实数a,b满足=3,则(a+1)(b+2)的最小值是______.
正确答案
解析
解:∵正实数a,b满足=3,
∴,化为
,当且仅当b=2a=
时取等号.
b+2a=3ab.
∴(a+1)(b+2)=ab+b+2a+2=4ab+2.
故答案为:.
已知向量,
,若
且m,n∈R*,则m+n的最小值为( )
正确答案
解析
解:由题意可得 =m+n+mn=1≤(m+n)+
,当且仅当m=n时,等号成立.
即 (m+n)2+4(m+n)-4≥0,解得-2-2≥m+n(舍去),或 m+n≥-2+2
,
故选D.
对于一切实数,当a,b,c(a≠0,a<b)变化时,所有二次函数f(x)=ax2+bx+c的函数值恒为非负实数,则的最小值是( )
正确答案
解析
解:由于二次函数的值恒为非负数,可得a>0,故 b>a>0,再由△≤0得到c≥.
则≥
=
.
令y=,则有
+(1-y)
+1+y=0 ①.
∵△≥0,解得 y≥3,或 y≤0.
再由 b>a>0可得>1,故方程①的两根之和4(y-1)>2,
∴y>,故舍去y≤0,取y≥3.
即y的最小值为3,
故选B.
已知x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,当x,y为何值时,x+y取得最小值,并求出最小值.
正确答案
解:∵x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,
∴=1,
∴x+y=(x+y)()=10+
=10+2×4=18,
当且仅当,x=2y,
∵=1,
∴y=6,x=12,
∴当y=6,x=12时,x+y取得最小值18.
解析
解:∵x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,
∴=1,
∴x+y=(x+y)()=10+
=10+2×4=18,
当且仅当,x=2y,
∵=1,
∴y=6,x=12,
∴当y=6,x=12时,x+y取得最小值18.
若x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
正确答案
解:由2x+8y-xy=0,及x>0,y>0,得.
∴x+y==10+2
=18,当且仅当
,
,即x=12,y=6时取等号.
∴x+y的最小值为18.
故答案为18.
解析
解:由2x+8y-xy=0,及x>0,y>0,得.
∴x+y==10+2
=18,当且仅当
,
,即x=12,y=6时取等号.
∴x+y的最小值为18.
故答案为18.
已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则的最小值为______.
正确答案
3
解析
解:∵x≥0,y≥0,且x+y=1,
∴0≤x≤1,y=1-x.
∴=
=f(x),
∴f′(x)==
≥0,
∴函数f(x)在[0,1]上单调递增.
∴当x=0时,f(x)取得极小值即最小值3.
故答案为:3.
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