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题型:简答题
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简答题

如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm,宽为ym.

(Ⅰ)若菜园面积为72m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?

(Ⅱ)若使用的篱笆总长度为30m,求+的最小值.

正确答案

解:(Ⅰ)由已知可得xy=72,而篱笆总长为x+2y.

又∵x+2y≥2=24,

当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.

∴菜园的长x为12m,宽y为6m时,可使所用篱笆总长最小.

(Ⅱ)由已知得x+2y=30,

又∵(+)•(x+2y)=5++≥5+2=9,

+

当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.

+的最小值是

解析

解:(Ⅰ)由已知可得xy=72,而篱笆总长为x+2y.

又∵x+2y≥2=24,

当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.

∴菜园的长x为12m,宽y为6m时,可使所用篱笆总长最小.

(Ⅱ)由已知得x+2y=30,

又∵(+)•(x+2y)=5++≥5+2=9,

+

当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.

+的最小值是

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题型: 单选题
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单选题

已知向量=(1,x-2),=(2,-6y)(x,y∈R+),且,则的最小值等于(  )

A4

B6

C8

D12

正确答案

B

解析

解:∵,∴2(x-2)-(-6y)=0,

化为x+3y=2.

又x,y∈R+

===6,当且仅当x=3y=1时取等号.

的最小值等于6.

故选:B.

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题型:简答题
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简答题

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米.

(1)若设休闲区的长A1B1=x米,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;

(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

正确答案

解:(1)由A1B1=x米,知

=

(2)

当且仅当,即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.

解析

解:(1)由A1B1=x米,知

=

(2)

当且仅当,即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.

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题型: 单选题
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单选题

已知正数x,y满足x+2y=20,则lgx+lgy的最大值是(  )

A50

B2

C1+lg5

D1

正确答案

C

解析

解:∵正数x,y满足x+2y=20,

∴20=x+2y,可得xy≤50,

当且仅当x=2y=10即x=10,y=5时取得等号,

∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5,即lgx+lgy的最大值是:1+lg5.

故选C.

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题型:填空题
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填空题

若x+1>0,则x+的最小值为______

正确答案

1

解析

解:因为x+1>0,所以x+=x+1+-1=1.

当且仅当x+1=,即x=0时“=”成立.

所以x+的最小值为1.

故答案为:1.

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题型: 单选题
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单选题

设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(  )

A-5

B3

C-5或3

D5或-3

正确答案

B

解析

解:如图所示,

当a≥1时,由

解得,y=

当直线经过z=x+ay时取得最小值为7,

,化为a2+2a-15=0,

解得a=3,a=-5舍去.

当a<1时,不符合条件.

故选:B.

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题型: 单选题
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单选题

小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(  )

Aa<v<

Bv=

C<v<

Dv=

正确答案

A

解析

解:设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S

则v==

∵0<a<b

∴a+b>0

∵v-a===

∴v>a

综上可得,

故选A

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题型:简答题
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简答题

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为am,后侧边长为bm,蔬菜的种植面积为Sm2

(1)用a、b 表示S;

(2)a、b各为多少时,蔬菜的种植面积S最大?最大种植面积是多少?

正确答案

解:(1)由题意可知,ab=800(a>4,b>2),

S=(a-4)(b-2)=ab-2a-4b+8;

(2)由ab=800,得(4<a<400),

代入S=ab-2a-4b+8,得

S=800-2a-4×+8=808-2(a+

≤808=728.

当且仅当,即a=40时S取得最大值,

此时b=

所以当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2

答:当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2

解析

解:(1)由题意可知,ab=800(a>4,b>2),

S=(a-4)(b-2)=ab-2a-4b+8;

(2)由ab=800,得(4<a<400),

代入S=ab-2a-4b+8,得

S=800-2a-4×+8=808-2(a+

≤808=728.

当且仅当,即a=40时S取得最大值,

此时b=

所以当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2

答:当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2

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题型:简答题
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简答题

(2015秋•徐州期末)如图,ABCD是长方形硬纸片,AB=80cm,AD=50cm,在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸箱,设切去的小正方形的白边长为x(cm).

(1)若要求纸箱的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?

(2)若要求纸箱的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?

正确答案

解:(1)S=2x(50-2x+80-2x)=2x(130-4x)≤=

当且仅当4x=130-4x,即x=cm,纸箱的侧面积S(cm2)最大;

(2)V=x(50-2x)(80-2x)(0<x<12.5),

V′=(50-2x)(80-2x)-2x(80-2x)-2x(50-2x)=4(3x-100)(x-10),

∴0<x<10,V′>0,10<x<12.5,V′<0,

∴x=10cm时,V最大.

解析

解:(1)S=2x(50-2x+80-2x)=2x(130-4x)≤=

当且仅当4x=130-4x,即x=cm,纸箱的侧面积S(cm2)最大;

(2)V=x(50-2x)(80-2x)(0<x<12.5),

V′=(50-2x)(80-2x)-2x(80-2x)-2x(50-2x)=4(3x-100)(x-10),

∴0<x<10,V′>0,10<x<12.5,V′<0,

∴x=10cm时,V最大.

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题型:填空题
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填空题

(2015秋•汕头校级月考)如图为函数f(x)=的部分图象,ABCD是矩形,A、B在图象上,将此矩形(AB边在第一象限)绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为______

正确答案

解析

解:由题意得x=1为极大值点,且

设A、B的纵坐标为,则由得kx2-x+k=0,,xA•xB=1,

所以AB=|xA-xB|==

所以=

当且仅当时取“=”,此时△>0,故旋转体体积的最大值为

故答案为:

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