- 基本不等式
- 共6247题
如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm,宽为ym.
(Ⅰ)若菜园面积为72m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(Ⅱ)若使用的篱笆总长度为30m,求+
的最小值.
正确答案
解:(Ⅰ)由已知可得xy=72,而篱笆总长为x+2y.
又∵x+2y≥2=24,
当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.
∴菜园的长x为12m,宽y为6m时,可使所用篱笆总长最小.
(Ⅱ)由已知得x+2y=30,
又∵(+
)•(x+2y)=5+
+
≥5+2
=9,
∴+
≥
,
当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.
∴+
的最小值是
.
解析
解:(Ⅰ)由已知可得xy=72,而篱笆总长为x+2y.
又∵x+2y≥2=24,
当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.
∴菜园的长x为12m,宽y为6m时,可使所用篱笆总长最小.
(Ⅱ)由已知得x+2y=30,
又∵(+
)•(x+2y)=5+
+
≥5+2
=9,
∴+
≥
,
当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.
∴+
的最小值是
.
已知向量=(1,x-2),
=(2,-6y)(x,y∈R+),且
∥
,则
的最小值等于( )
正确答案
解析
解:∵∥
,∴2(x-2)-(-6y)=0,
化为x+3y=2.
又x,y∈R+,
∴=
=
=6,当且仅当x=3y=1时取等号.
∴的最小值等于6.
故选:B.
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米.
(1)若设休闲区的长A1B1=x米,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
正确答案
解:(1)由A1B1=x米,知米
∴=
(2)
当且仅当,即x=100时取等号
∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.
解析
解:(1)由A1B1=x米,知米
∴=
(2)
当且仅当,即x=100时取等号
∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.
已知正数x,y满足x+2y=20,则lgx+lgy的最大值是( )
正确答案
解析
解:∵正数x,y满足x+2y=20,
∴20=x+2y,可得xy≤50,
当且仅当x=2y=10即x=10,y=5时取得等号,
∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5,即lgx+lgy的最大值是:1+lg5.
故选C.
若x+1>0,则x+的最小值为______.
正确答案
1
解析
解:因为x+1>0,所以x+=x+1+
-1
=1.
当且仅当x+1=,即x=0时“=”成立.
所以x+的最小值为1.
故答案为:1.
设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )
正确答案
解析
解:如图所示,
当a≥1时,由,
解得,y=
.
∴.
当直线经过z=x+ay时取得最小值为7,
∴,化为a2+2a-15=0,
解得a=3,a=-5舍去.
当a<1时,不符合条件.
故选:B.
小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
正确答案
解析
解:设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S
则v==
∵0<a<b
∴a+b>0
∴
∵v-a==
=
∴v>a
综上可得,
故选A
某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为am,后侧边长为bm,蔬菜的种植面积为Sm2.
(1)用a、b 表示S;
(2)a、b各为多少时,蔬菜的种植面积S最大?最大种植面积是多少?
正确答案
解:(1)由题意可知,ab=800(a>4,b>2),
S=(a-4)(b-2)=ab-2a-4b+8;
(2)由ab=800,得(4<a<400),
代入S=ab-2a-4b+8,得
S=800-2a-4×+8=808-2(a+
)
≤808=728.
当且仅当,即a=40时S取得最大值,
此时b=.
所以当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2.
答:当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2.
解析
解:(1)由题意可知,ab=800(a>4,b>2),
S=(a-4)(b-2)=ab-2a-4b+8;
(2)由ab=800,得(4<a<400),
代入S=ab-2a-4b+8,得
S=800-2a-4×+8=808-2(a+
)
≤808=728.
当且仅当,即a=40时S取得最大值,
此时b=.
所以当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2.
答:当a=40m、b=20m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是728m2.
(2015秋•徐州期末)如图,ABCD是长方形硬纸片,AB=80cm,AD=50cm,在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸箱,设切去的小正方形的白边长为x(cm).
(1)若要求纸箱的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若要求纸箱的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?
正确答案
解:(1)S=2x(50-2x+80-2x)=2x(130-4x)≤•
=
,
当且仅当4x=130-4x,即x=cm,纸箱的侧面积S(cm2)最大;
(2)V=x(50-2x)(80-2x)(0<x<12.5),
V′=(50-2x)(80-2x)-2x(80-2x)-2x(50-2x)=4(3x-100)(x-10),
∴0<x<10,V′>0,10<x<12.5,V′<0,
∴x=10cm时,V最大.
解析
解:(1)S=2x(50-2x+80-2x)=2x(130-4x)≤•
=
,
当且仅当4x=130-4x,即x=cm,纸箱的侧面积S(cm2)最大;
(2)V=x(50-2x)(80-2x)(0<x<12.5),
V′=(50-2x)(80-2x)-2x(80-2x)-2x(50-2x)=4(3x-100)(x-10),
∴0<x<10,V′>0,10<x<12.5,V′<0,
∴x=10cm时,V最大.
(2015秋•汕头校级月考)如图为函数f(x)=
的部分图象,ABCD是矩形,A、B在图象上,将此矩形(AB边在第一象限)绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为______.
正确答案
解析
解:由题意得x=1为极大值点,且
,
设A、B的纵坐标为,则由
得kx2-x+k=0,
,xA•xB=1,
所以AB=|xA-xB|==
,
所以=
,
当且仅当时取“=”,此时△>0,故旋转体体积的最大值为
.
故答案为:.
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