基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．

又∵x+2y≥2=24，

当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（Ⅱ）由已知得x+2y=30，

又∵（+）•（x+2y）=5++≥5+2=9，

∴+≥，

当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．

∴+的最小值是．

解析

解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．

又∵x+2y≥2=24，

当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（Ⅱ）由已知得x+2y=30，

又∵（+）•（x+2y）=5++≥5+2=9，

∴+≥，

当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．

∴+的最小值是．

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题型：单选题

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单选题

已知向量=（1，x-2），=（2，-6y）（x，y∈R+），且∥，则的最小值等于（　　）

A4

B6

C8

D12

正确答案

B

解析

解：∵∥，∴2（x-2）-（-6y）=0，

化为x+3y=2．

又x，y∈R+，

∴===6，当且仅当x=3y=1时取等号．

∴的最小值等于6．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．

（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；

（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

正确答案

解：（1）由A1B1=x米，知米

∴=

（2）

当且仅当，即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．

解析

解：（1）由A1B1=x米，知米

∴=

（2）

当且仅当，即x=100时取等号

∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．

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题型：单选题

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单选题

已知正数x，y满足x+2y=20，则lgx+lgy的最大值是（　　）

A50

B2

C1+lg5

D1

正确答案

C

解析

解：∵正数x，y满足x+2y=20，

∴20=x+2y，可得xy≤50，

当且仅当x=2y=10即x=10，y=5时取得等号，

∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5，即lgx+lgy的最大值是：1+lg5．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

若x+1＞0，则x+的最小值为______．

正确答案

1

解析

解：因为x+1＞0，所以x+=x+1+-1=1．

当且仅当x+1=，即x=0时“=”成立．

所以x+的最小值为1．

故答案为：1．

1

题型：单选题

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单选题

设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）

A-5

B3

C-5或3

D5或-3

正确答案

B

解析

解：如图所示，

当a≥1时，由，

解得，y=．

∴．

当直线经过z=x+ay时取得最小值为7，

∴，化为a2+2a-15=0，

解得a=3，a=-5舍去．

当a＜1时，不符合条件．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）

Aa＜v＜

Bv=

C＜v＜

Dv=

正确答案

A

解析

解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S

则v==

∵0＜a＜b

∴a+b＞0

∴

∵v-a===

∴v＞a

综上可得，

故选A

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题型：简答题

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简答题

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为Sm2．

（1）用a、b 表示S；

（2）a、b各为多少时，蔬菜的种植面积S最大？最大种植面积是多少？

正确答案

解：（1）由题意可知，ab=800（a＞4，b＞2），

S=（a-4）（b-2）=ab-2a-4b+8；

（2）由ab=800，得（4＜a＜400），

代入S=ab-2a-4b+8，得

S=800-2a-4×+8=808-2（a+）

≤808=728．

当且仅当，即a=40时S取得最大值，

此时b=．

所以当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

答：当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

解析

解：（1）由题意可知，ab=800（a＞4，b＞2），

S=（a-4）（b-2）=ab-2a-4b+8；

（2）由ab=800，得（4＜a＜400），

代入S=ab-2a-4b+8，得

S=800-2a-4×+8=808-2（a+）

≤808=728．

当且仅当，即a=40时S取得最大值，

此时b=．

所以当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

答：当a=40m、b=20m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是728m2．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•徐州期末）如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．

（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

正确答案

解：（1）S=2x（50-2x+80-2x）=2x（130-4x）≤•=，

当且仅当4x=130-4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；

（2）V=x（50-2x）（80-2x）（0＜x＜12.5），

V′=（50-2x）（80-2x）-2x（80-2x）-2x（50-2x）=4（3x-100）（x-10），

∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，

∴x=10cm时，V最大．

解析

解：（1）S=2x（50-2x+80-2x）=2x（130-4x）≤•=，

当且仅当4x=130-4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；

（2）V=x（50-2x）（80-2x）（0＜x＜12.5），

V′=（50-2x）（80-2x）-2x（80-2x）-2x（50-2x）=4（3x-100）（x-10），

∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，

∴x=10cm时，V最大．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•汕头校级月考）如图为函数f（x）=的部分图象，ABCD是矩形，A、B在图象上，将此矩形（AB边在第一象限）绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为______．

正确答案

解析

解：由题意得x=1为极大值点，且，

设A、B的纵坐标为，则由得kx2-x+k=0，，xA•xB=1，

所以AB=|xA-xB|==，

所以=，

当且仅当时取“=”，此时△＞0，故旋转体体积的最大值为．

故答案为：．

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正确答案

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