基本不等式
共6247题

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题型：简答题

简答题

已知正数a，b满足a+b=1．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

正确答案

解：（1）=2a+1+2b+1+2=4+2，

因为正数a，b满足a+b=1，ab；

当且仅当a=b=时取等号，

∴≤8，

当且仅当a=b=时，的最大值为：．

（2）因为==3+≥3+=3+2．当且仅当a2=2b2，时取等号．

所求最小值为：3+2．

解析

解：（1）=2a+1+2b+1+2=4+2，

因为正数a，b满足a+b=1，ab；

当且仅当a=b=时取等号，

∴≤8，

当且仅当a=b=时，的最大值为：．

（2）因为==3+≥3+=3+2．当且仅当a2=2b2，时取等号．

所求最小值为：3+2．

题型：单选题

单选题

下列结论正确的是（　　）

A当

B当无最大值

C的最小值为2

D当x＞0时，

正确答案

解析

解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，，结论不成立；

对于B，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故B不成立；

对于C，在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故C错误；

对于D，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故D成立

故选D．

题型：填空题

填空题

点G是△OAB的重心，过G任作直线PQ分别交OA、OB于点P、Q，若=m，=n，mn≠0，则=______．

正确答案

解析

解：如图所示，

由于三点P，G，Q共线，

∴存在实数λ满足：，

∵点G是△OAB的重心，

∴=，

又∵=m，=n，mn≠0，

∴=，

由于，不共线，

∴，

∴=3λ+3（1-λ）=3．

故答案为：3．

题型：填空题

填空题

若f（x）=x+（x＞2）在x=n处取得最小值m，则m=______，n=______．

正确答案

解析

解：∵x＞2，

∴f（x）=x+=（x-2）++2+2=4，当且仅当x=3时取等号．

故答案为：4；3．

题型：单选题

单选题

在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：如图所示，不妨设A（2，0），则B（-1，）．

由P是上的一个动点，=x+y=x（2，0）+y （-1，）=（2x-y，y）．

∵||=2，

∴=2，

化为x2-xy+y2=1．

∴当且仅当x=y=1时

∴+的最小值是2．

题型：单选题

单选题

若x＞1，则x+的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：∵x＞1，

∴x+=x-1+=3，当且仅当x=2时取等号．

∴x+的最小值是3．

故选：C．

题型：单选题

单选题

下列结论正确的是（　　）

A当

B当无最大值

C的最小值为2

D当x＞0时，

正确答案

解析

解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，，结论不成立；

对于B，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故B不成立；

对于C，在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故C错误；

对于D，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故D成立

故选D．

题型：填空题

填空题

设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵x2-3xy+4y2-z=0，

∴z=x2-3xy+4y2，又x，y，z为正实数，

∴=+-3≥2-3=1（当且仅当x=2y时取“=”），

即x=2y（y＞0），

∴x+2y-z=2y+2y-（x2-3xy+4y2）

=4y-2y2

=-2（y-1）2+2≤2．

∴x+2y-z的最大值为2．

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

若f（x）=x+（x＞2）在x=n处取得最小值m，则m=______，n=______．

正确答案

解析

解：∵x＞2，

∴f（x）=x+=（x-2）++2+2=4，当且仅当x=3时取等号．

故答案为：4；3．

题型：单选题

单选题

设a＞0，b＞0且a+b=1则的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，

∴=（a+b）=3+=3+2，当且仅当b=a=2-取等号．

∴的最小值是3+2．

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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