基本不等式_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是（　　）

A

B2

C2

D4

正确答案

B

解析

解：如图所示，不妨设A（2，0），则B（-1，）．

由P是上的一个动点，=x+y=x（2，0）+y （-1，）=（2x-y，y）．

∵||=2，

∴=2，

化为x2-xy+y2=1．

∴当且仅当x=y=1时

∴+的最小值是2．

1

题型：简答题

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简答题

（1）求函数y=的定义域；

（2）设a，b为实数且a+b=3，求2a+2b的最小值．

正确答案

解：（1）要使函数y=有意义，

需4-x2＞0，解-2＜x＜2

∴原函数的定义域为{x|-2＜x＜2}；

（2）∵a，b为实数且a+b=3，

∴2a+2b≥2=2=4

当且仅当2a=2b，即a=b时取等号，

∴2a+2b的最小值为：4

解析

解：（1）要使函数y=有意义，

需4-x2＞0，解-2＜x＜2

∴原函数的定义域为{x|-2＜x＜2}；

（2）∵a，b为实数且a+b=3，

∴2a+2b≥2=2=4

当且仅当2a=2b，即a=b时取等号，

∴2a+2b的最小值为：4

1

题型：简答题

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简答题

（1）设0＜x＜，求函数y=4x（3-2x）的最大值；

（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．

正确答案

解：（1）∵0＜x＜，∴3-2x＞0．

∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[]2=．

当且仅当2x=3-2x，即x=时，等号成立．

∵∈（0，），

∴函数y=4x（3-2x）（0＜x＜）的最大值为．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．

∴2+5≤x+y+5=3xy．

∴3xy-2-5≥0，

∴（+1）（3-5）≥0，

∴≥，即xy≥，

等号成立的条件是x=y．

此时x=y=，

故xy的最小值是．

解析

解：（1）∵0＜x＜，∴3-2x＞0．

∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[]2=．

当且仅当2x=3-2x，即x=时，等号成立．

∵∈（0，），

∴函数y=4x（3-2x）（0＜x＜）的最大值为．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．

∴2+5≤x+y+5=3xy．

∴3xy-2-5≥0，

∴（+1）（3-5）≥0，

∴≥，即xy≥，

等号成立的条件是x=y．

此时x=y=，

故xy的最小值是．

1

题型：单选题

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单选题

已知x＞0，y＞0且 +=1，则x+y的最小值为（　　）

A8

B4

C2

D1

正确答案

B

解析

解：∵x＞0，y＞0且 +=1，

∴x+y=（x+y）•（+）=2++≥4（当且仅当x=y=2时取“=“）．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

若9x+≥a+1（a＞0）对一切正实数成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

[，+∞）

解析

解：对一切正实数x，9x+≥6a．

∵9x+≥a+1（a＞0）对一切正实数x成立，

∴6a≥a+1，

∴a≥，

∴实数a的取值范围是[，+∞）．

故答案为：[，+∞）．

1

题型：填空题

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填空题

当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的最大值是______．

正确答案

3

解析

解：由已知，只需a小于或等于的最小值

当x＞1时，x-1＞0，=≥=3，当且仅当，x=2时取到等号，所以应有a≤3，

所以实数a的最大值是 3

故答案为：3

1

题型：单选题

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单选题

（2015春•许昌校级月考）已知x＞0，y＞0，且+=2，则x+y的最小值为（　　）

A6

B7

C8

D9

正确答案

C

解析

解：∵x＞0，y＞0，且+=2，

∴+=1，

∴x+y=（x+y）（+）=5++≥5+2 =5+3=8，当且仅当y=3x=6时取等号．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是（　　）

A[9，+∞）

B[6，+∞）

C（0，9]

D（0，6）

正确答案

B

解析

解：∵正数a、b满足ab=a+b+3，

∴a+b+3=ab≤，

整理可得（a+b）2-4（a+b）-12≥0，

解关于a+b的不等式可得a+b≥6或a+b≤-2，

∵a、b为正数，∴a+b≥6，

当且仅当a=b=3时取等号，

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

（不等式选讲选做题）若ab＞0，且A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三点共线，则ab的最小值为______．

正确答案

16

解析

解：根据题意，A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三点共线，可得kAB=kBC，

即=，化简可得2a+2b+ab=0，即ab=-2a-2b，

若ab＞0，要么a＞0且b＞0，要么a＜0且b＜0

直线经过第三象限的C（-2，-2），由直线的性质可知，a＜0，b＜0

因为a＜0，b＜0，所以-2a-2b＞0且-2a-2b≥2=4，

又因为ab=-2a-2b，所以ab≥4，

即ab-4≥0，

令t=＞0，可得t2-4t≥0，

解可得t≥4或t≤0，

又由t＞0，则t≥4，

即≥4，ab≥16；

则ab的最小值为16；

故答案为16．

1

题型：单选题

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单选题

若x2+xy+y2=1且x、y∈R，则n=x2+y2的取值范围是（　　）

A0＜n≤1

B2≤n≤3

Cn≥2

D≤n≤2

正确答案

D

解析

解：x2+xy+y2=1，

∴xy=1-（x2+y2），

又≤-|xy|≤xy≤|xy|≤，

知≤1-（x2+y2）≤，得出≤x2+y2≤2．

故选D

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