基本不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若不等式+≥a对任意的x∈（0，1）恒成立，则a的最大值是______．

正确答案

9

解析

解：∵x∈（0，1），

∴+=（x+1-x）（+）=5++≥5+4=9，

∴a的最大值是9．

故答案为：9．

1

题型：简答题

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简答题

某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少．

正确答案

解：设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，

则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，

s=（x+6）•（y+6）=xy+6（x+y）+36，

∴，

当且仅当x=y=180时取等号，所以当x=y=180，s=34596m2，

答：当选的农田的长和宽都为186m时，才能使占有农田的面积最少．

解析

解：设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，

则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，

s=（x+6）•（y+6）=xy+6（x+y）+36，

∴，

当且仅当x=y=180时取等号，所以当x=y=180，s=34596m2，

答：当选的农田的长和宽都为186m时，才能使占有农田的面积最少．

1

题型：填空题

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填空题

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若，的最大值为______．

正确答案

1

解析

解：∵ax=bx=3，

∴，

又a+b=2，

∴=log33=1，

故答案为：1．

1

题型：简答题

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简答题

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

正确答案

解：（1）依题意，y=≤=，

当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）．

（2）由条件得＞10，

整理得v2-89v+1600＜0，

即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．

解析

解：（1）依题意，y=≤=，

当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）．

（2）由条件得＞10，

整理得v2-89v+1600＜0，

即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．

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题型：简答题

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简答题

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

正确答案

解：（1）依题意，y=≤=，

当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）．

（2）由条件得＞10，

整理得v2-89v+1600＜0，

即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．

解析

解：（1）依题意，y=≤=，

当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）．

（2）由条件得＞10，

整理得v2-89v+1600＜0，

即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．

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题型：填空题

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填空题

若不等式+≥a对任意的x∈（0，1）恒成立，则a的最大值是______．

正确答案

9

解析

解：∵x∈（0，1），

∴+=（x+1-x）（+）=5++≥5+4=9，

∴a的最大值是9．

故答案为：9．

1

题型：单选题

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单选题

若x＞0，则4-x-的最大值是（　　）

A6

B4

C3

D2

正确答案

D

解析

解：∵x＞0，

∴x+≥2，

∴4-x-≤4-2=2，

∴4-x-的最大值是2，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

已知a＞b，且ab=3，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵ab=3，

∴==，

∵a＞b，∴a-b＞0，

则由基本不等式可得=≥=2，

当且仅当a-b=，即（a-b）2=6，解得a-b=时取等号，

故函数的最小值为2，

故答案为：2

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题型：简答题

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简答题

某城市计划在如图所示的空地ABCD上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，宣传该城市未来十年计划、目标等相关政策．已知四边形ABCD是边长为30m的正方形，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m，3m，且MN～NE=16～9，线段MN必过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN=xm，液晶广告屏幕MNEF的面积为Sm2．

（1）求S关于x的函数关系式及其定义域；

（2）若液晶屏每平米造价为1500元，当x为何值时，液晶广告屏幕MNEF的造价最低？

正确答案

解：（1）由题意，在△AMN中，，

∴，∴AM=

∴MN==

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30

∴S=，其定义域为[10，30]；

（2）由题意，要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小

设（x∈[10，30]），则

令f′（x）=0，的x=

因为时，f‘（x）＜0；时，f'（x）＞0，

所以时，S取得最小值，即液晶广告屏幕MNEF的造价最低．

故当时，液晶广告屏幕的造价最低．

解析

解：（1）由题意，在△AMN中，，

∴，∴AM=

∴MN==

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30

∴S=，其定义域为[10，30]；

（2）由题意，要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小

设（x∈[10，30]），则

令f′（x）=0，的x=

因为时，f‘（x）＜0；时，f'（x）＞0，

所以时，S取得最小值，即液晶广告屏幕MNEF的造价最低．

故当时，液晶广告屏幕的造价最低．

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题型：简答题

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简答题

某城市计划在如图所示的空地ABCD上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，宣传该城市未来十年计划、目标等相关政策．已知四边形ABCD是边长为30m的正方形，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m，3m，且MN～NE=16～9，线段MN必过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN=xm，液晶广告屏幕MNEF的面积为Sm2．

（1）求S关于x的函数关系式及其定义域；

（2）若液晶屏每平米造价为1500元，当x为何值时，液晶广告屏幕MNEF的造价最低？

正确答案

解：（1）由题意，在△AMN中，，

∴，∴AM=

∴MN==

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30

∴S=，其定义域为[10，30]；

（2）由题意，要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小

设（x∈[10，30]），则

令f′（x）=0，的x=

因为时，f‘（x）＜0；时，f'（x）＞0，

所以时，S取得最小值，即液晶广告屏幕MNEF的造价最低．

故当时，液晶广告屏幕的造价最低．

解析

解：（1）由题意，在△AMN中，，

∴，∴AM=

∴MN==

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30

∴S=，其定义域为[10，30]；

（2）由题意，要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小

设（x∈[10，30]），则

令f′（x）=0，的x=

因为时，f‘（x）＜0；时，f'（x）＞0，

所以时，S取得最小值，即液晶广告屏幕MNEF的造价最低．

故当时，液晶广告屏幕的造价最低．

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