基本不等式_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为______．

正确答案

解析

解：设圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值，

则4R+2H=l，∴H=-2R，

∴V=SH=πR2H=πR2（-2R）=πR2-2πR3，

求导：V‘=πRl-6πR2，

令V'=0，可得πRl-6πR2=0，

∴πR（l-6R）=0，

∴l-6R=0，

∴R=，

当R=时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2-2πR3=．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

设f（x）=，求证：对任意实数a，b，不等式f（a）＜b2-3b+恒成立．

正确答案

证明：f（x）==≤=2，当且仅当2x=时，即x=时，等号成立

∴f（x）的最大值为2，

∴f（a）的最大值为2

∵b2-3b+=+3，∴当b=时，b2-3b+有最小值3，

∴对任意实数a，b都有f（a）＜b2-3b+．

解析

证明：f（x）==≤=2，当且仅当2x=时，即x=时，等号成立

∴f（x）的最大值为2，

∴f（a）的最大值为2

∵b2-3b+=+3，∴当b=时，b2-3b+有最小值3，

∴对任意实数a，b都有f（a）＜b2-3b+．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•咸阳校级期中）（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=的最小值．

（Ⅱ）已知0＜x＜，求f（x）=x（1-3x）的最大值．

正确答案

解：（1）若x＞0，则3x＞0，，

∴f（x）=+3x≥2•=12，

当且仅当：=3x，即x=2时，取“=”，

因此，函数f（x）的最小值为12；

（2）若，

∵f（x）=x（1-3x）=•[3x•（1-3x）]≤•=，

当且仅当：3x=1-3x，即x=时，取“=”，

因此，函数f（x）的最大值为．

解析

解：（1）若x＞0，则3x＞0，，

∴f（x）=+3x≥2•=12，

当且仅当：=3x，即x=2时，取“=”，

因此，函数f（x）的最小值为12；

（2）若，

∵f（x）=x（1-3x）=•[3x•（1-3x）]≤•=，

当且仅当：3x=1-3x，即x=时，取“=”，

因此，函数f（x）的最大值为．

1

题型：填空题

|

填空题

函数y=+-（x＞0）的最大值为______．

正确答案

2-

解析

解：设+=t（t≥2），则x+=t2-2，

∴y=t-=，在[2，+∞）上单调递减

∴t=2时，函数y=+-（x＞0）的最大值为2-．

故答案为：2-．

1

题型：单选题

|

单选题

在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（　　）

A3

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2-2accos60°

∴a2+c2-ac=3

设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2-5am+m2-3=0

∴△=84-3m2≥0，∴0＜m≤2

m=2时，a=，c=符合题意

∴m的最大值是2

故选D．

1

题型：单选题

|

单选题

在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（　　）

A3

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2-2accos60°

∴a2+c2-ac=3

设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2-5am+m2-3=0

∴△=84-3m2≥0，∴0＜m≤2

m=2时，a=，c=符合题意

∴m的最大值是2

故选D．

1

题型：简答题

|

简答题

设f（x）=，求证：对任意实数a，b，不等式f（a）＜b2-3b+恒成立．

正确答案

证明：f（x）==≤=2，当且仅当2x=时，即x=时，等号成立

∴f（x）的最大值为2，

∴f（a）的最大值为2

∵b2-3b+=+3，∴当b=时，b2-3b+有最小值3，

∴对任意实数a，b都有f（a）＜b2-3b+．

解析

证明：f（x）==≤=2，当且仅当2x=时，即x=时，等号成立

∴f（x）的最大值为2，

∴f（a）的最大值为2

∵b2-3b+=+3，∴当b=时，b2-3b+有最小值3，

∴对任意实数a，b都有f（a）＜b2-3b+．

1

题型：简答题

|

简答题

某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y=-30x+4000．问：

（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润；

（2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．

正确答案

解：（1）年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：

z=16x-（-30x+4000）=+46x-4000

=（x-230）2+1290，（150≤x≤250），

当x=230时，y大=1290（万元），

（2）年产量为x吨时，每吨的平均成本为W万元，为y=-30x+4000．

∴W==-30=（x）-30，（150≤x≤250），

∵x≥2=400，（x=200等号成立），

∴x=200时，W最小=×400-30=10．

故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．

解析

解：（1）年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：

z=16x-（-30x+4000）=+46x-4000

=（x-230）2+1290，（150≤x≤250），

当x=230时，y大=1290（万元），

（2）年产量为x吨时，每吨的平均成本为W万元，为y=-30x+4000．

∴W==-30=（x）-30，（150≤x≤250），

∵x≥2=400，（x=200等号成立），

∴x=200时，W最小=×400-30=10．

故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．

1

题型：填空题

|

填空题

若a＞0，b＞0，a+b=2，则2a+2b的最小值为______．

正确答案

4

解析

解：由于a＞0，b＞0，a+b=2，

则2a+2b≥2=2=2=4．

当且仅当a=b=1，取得最小值4．

故答案为：4．

1

题型：简答题

|

简答题

PM2.5即细颗粒物是指直径在2.5微米以下的颗粒物，能长时间的悬浮在空气中．PM2.5在空气中的含量越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度值以每立方米的微克值来表示，我国规定空气中PM2.5的浓度小于或等于75微克/立方米为达标．某市连续监测了一天中0～12时内PM2.5含量的变化情况，其浓度W（t）（微克/立方米）随时刻t的变化可近似表示如下：W（t）=

（1）设k=1，求这一天中0～12时内哪些时间段是达标的？

（2）已知k＞0，如果当t∈（6，12]时，PM2.5的浓度始终大于75微克/立方米，求k的取值范围．

正确答案

解：（1）当t∈[0，6）时，令得2≤t＜6

当t∈[6，12]时，令t-6=x，则x∈[0，6]，g（x）=x2-x+ln（x+1）+75，

因此，当g（x）在[0，6]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=75

故当2≤t≤6时，PM2.5的浓度达标

（2）由（1）及题意g（x）=kx2-x+ln（x+1）+75＞75，∀x∈[0，6]成立

所以符合要求

当即时，g（x）在单调递减，

则存在x∈（0，6]使g（x）＜g（0）=75，所以不符合要求

综上可知．

解析

解：（1）当t∈[0，6）时，令得2≤t＜6

当t∈[6，12]时，令t-6=x，则x∈[0，6]，g（x）=x2-x+ln（x+1）+75，

因此，当g（x）在[0，6]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=75

故当2≤t≤6时，PM2.5的浓度达标

（2）由（1）及题意g（x）=kx2-x+ln（x+1）+75＞75，∀x∈[0，6]成立

所以符合要求

当即时，g（x）在单调递减，

则存在x∈（0，6]使g（x）＜g（0）=75，所以不符合要求

综上可知．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析