基本不等式_章节学习

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题型：单选题

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单选题

设a＞b＞0，则的最小值是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

解：=≥4

当且仅当取等号

即取等号．

∴的最小值为4

故选：D

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．

（1）求t关于x的函数关系式；

（2）求y的最值，并写出取得最值得条件．

正确答案

解：（1）由已知得，

∴t=；

（2）由题意，y===，

∵，

∴1≤x≤2，

∴，

当且仅当，

即x=时等号成立，

∴x=时，ymin=；当x=1或2时，ymax=．

解析

解：（1）由已知得，

∴t=；

（2）由题意，y===，

∵，

∴1≤x≤2，

∴，

当且仅当，

即x=时等号成立，

∴x=时，ymin=；当x=1或2时，ymax=．

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题型：填空题

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填空题

（1）设a，b＞0，且2a+b=1，设，则当a=______且b=______时，Tmax=______．

（2）设a，b＞0，且2a+b=1，设，则当a=______且b=______时，Tmax=______．

正确答案

解析

解：（1）由题意a，b＞0，且2a+b=1，

由于≤a+b，a2+b2≥2ab，当a=b时等号成立，

又2a+b=1，故有a=b=时等号成立，

所以Tmax=

故答案为，，

（2）考察代数式，4a2+b2≥4ab，等号当且仅当2a=b时成立，

此时有=≤×，等号成立的条件是2a=b

又2a+b=1，故有2a=b=时取到最大值

最大值为，此时a=，b=

故答案为，，

1

题型：填空题

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填空题

已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为______．

正确答案

6

解析

解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，

则9-（x+3y）=xy=，

当且仅当x=3y时，取“=”

则此时，

由于x＞0，y＞0，解得，

故x+3y=6

故答案为6．

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题型：简答题

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简答题

香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-（其中0≤x≤a2-3a+3，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

正确答案

解：（1）由题意知，该产品售价为2×（）万元，

y=2×（）×t-10-2t-x，

销售量t万件满足t=5-

代入化简得y=20-（+x），（0≤x≤a2-3a+3）

（2）y=21-（+x+1）≤21-2=17

当且仅当=x+1即x=1时，上式取等号

当1≤a2-3a+3，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当a2-3a+3＜1，即1＜a＜2时，y=＞0，

故y=21-（+x+1）在0≤x≤a2-3a+3上单调递增，

所以在0≤x≤a2-3a+3时，函数有最大值．促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大

综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当1＜a＜2时，促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大．

解析

解：（1）由题意知，该产品售价为2×（）万元，

y=2×（）×t-10-2t-x，

销售量t万件满足t=5-

代入化简得y=20-（+x），（0≤x≤a2-3a+3）

（2）y=21-（+x+1）≤21-2=17

当且仅当=x+1即x=1时，上式取等号

当1≤a2-3a+3，即a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当a2-3a+3＜1，即1＜a＜2时，y=＞0，

故y=21-（+x+1）在0≤x≤a2-3a+3上单调递增，

所以在0≤x≤a2-3a+3时，函数有最大值．促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大

综上述，当a≥2或0＜a≤1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当1＜a＜2时，促销费用投入x=a2-3a+3万元时，厂家的利润最大．

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题型：简答题

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简答题

有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．

正确答案

解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y-4=（x-6），

令y=0，得到x=OM=，

所以当a＞1，即a+1＞0，a-1＞0时，

△OMQ的面积S=××4a=10×[]=10×[（a-1）+]+20≥10×2+20=40，当且仅当（a-1）=时（a=2）取等号；

所以当Q的坐标为（2，8）时，面积S的最小值为40．

解析

解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y-4=（x-6），

令y=0，得到x=OM=，

所以当a＞1，即a+1＞0，a-1＞0时，

△OMQ的面积S=××4a=10×[]=10×[（a-1）+]+20≥10×2+20=40，当且仅当（a-1）=时（a=2）取等号；

所以当Q的坐标为（2，8）时，面积S的最小值为40．

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题型：填空题

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填空题

已知实数m，n满足m•n＞0，m+n=-1，则的最大值为______．

正确答案

-4

解析

解：∵实数m，n满足m•n＞0，m+n=-1，

∴=-（-m-n）（+）=-（2++）≤-4，

当且仅当m=n=-时取等号，即的最大值为-4．

故答案为：-4．

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题型：简答题

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简答题

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式S=，已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3．

（1）求k的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

正确答案

解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=…（4分）

（1）当x=2时，L=3，即：…（5分）

∴k=18…（6分）

（2）当x≥6时，L=11-x为单调递减函数，

故当x=6时，Lmax=5 …（8分）

当0＜x＜6时，…（11分）

当且仅当，

即x=5时，Lmax=6…（13分）

综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）

解析

解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=…（4分）

（1）当x=2时，L=3，即：…（5分）

∴k=18…（6分）

（2）当x≥6时，L=11-x为单调递减函数，

故当x=6时，Lmax=5 …（8分）

当0＜x＜6时，…（11分）

当且仅当，

即x=5时，Lmax=6…（13分）

综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）

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题型：填空题

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填空题

已知甲、乙两地的公路线长400千米，用10辆汽车从甲地向乙地运送一批物资，假设汽车以v千米/小时的速度直达乙地，为了某种需要，两汽车间距不得小于千米（汽车车身长度不计），则这批物资全部到达乙地的最短时间是______小时．

正确答案

12

解析

解：设这批货物到达目的地的所用时间为y小时

因为不计汽车的身长，所以设汽车为一个点，

可知最前的点与最后的点之间距离最小值为9×千米时，时间最快．

则这批物资全部到达乙地的时间y==≥=12

当且仅当即v=千米/小时，时间ymin=12小时

故答案为：12．

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=|lnx|-k有两个不同的零点a，b，则代数式||的最小值是（　　）

A8

B8

C4

D4

正确答案

D

解析

解：令f（x）=|lnx|-k=0，则lnx=±k，

∴x=e±k，不妨设b=e-k，a=ek，

∴||=

=||=|（ek-e-k）+|

≥2=4，

当且仅当（ek-e-k）2=4，即k=时“=”成立，

故选：D．

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