- 基本不等式
- 共6247题
已知不等式|x-（a+b-2）|＜a+b的解集为偶函数f（x）的定义域．
（1）求a+b的值；
（2）求a2+b2的最小值．
正确答案
解：（1）不等式|x-（a+b-2）|＜a+b可化为-（a+b）＜x-（a+b-2）＜a+b，
解得-2＜x＜2a+2b-2，由偶函数定义域可知-2+2a+2b-2=0，
变形可得a+b=2；
（2）由（1）可得b=2-a，故a2+b2=a2+（2-a）2=2a2-4a+4=2（a-1）2+2，
由二次函数可知当a=1时，上式取最小值2
解析
解：（1）不等式|x-（a+b-2）|＜a+b可化为-（a+b）＜x-（a+b-2）＜a+b，
解得-2＜x＜2a+2b-2，由偶函数定义域可知-2+2a+2b-2=0，
变形可得a+b=2；
（2）由（1）可得b=2-a，故a2+b2=a2+（2-a）2=2a2-4a+4=2（a-1）2+2，
由二次函数可知当a=1时，上式取最小值2
设x、y均为正实数，且
正确答案
16
解析
解：∵x、y均为正实数，且
x+y=xy-8≥2
∴t≤-2（舍去），或 t≥4，
即
∴xy的最小值为16．
函数y=loga（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则
正确答案
解析
解：∵函数y=loga（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，
∴-2m-n+2=0，即 2m+n=2．
∴
当且仅当 
故答案为 
若x＞-3，则
正确答案
解析
解：∵x＞-3，∴x+3＞0，
所以
≥2
当且仅当
故答案为：
已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy=0，则x+2y的最小值是______．
正确答案
4
解析
解：∵x＞0，y＞0，x+2y-2xy=0，
∴x+2y=x•2y≤
解得x+2y≥4，当且仅当x=2y=2时取等号．
∴x+2y的最小值是4．
故答案为：4．
若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）过点（2，1），则
正确答案
9
解析
解：∵直线ax+2by-2=0（a，b＞0）过点（2，1），
∴正数a，b满足2a+2b-2=0，即a+b=1，
∴
≥5+2
当且仅当
故答案为：9．
已知a＞1，b＞1，求证：a+b＜ab+1．
正确答案
证明：∵a＞1，b＞1，
∴a-1＞0，b-1＞0．
∴（a-1）（b-1）＞0，
展开为ab+1＞a+b．即a+b＜ab+1．
解析
证明：∵a＞1，b＞1，
∴a-1＞0，b-1＞0．
∴（a-1）（b-1）＞0，
展开为ab+1＞a+b．即a+b＜ab+1．
若实数x，y满足x≥y＞0，且x=4
正确答案
解：设
则
∴x=4t+2
要使方程有正数解需
求得4＜x≤20，
故答案为：（4，20]
解析
解：设
则
∴x=4t+2
要使方程有正数解需
求得4＜x≤20，
故答案为：（4，20]
（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：
（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．
正确答案
解：（1）证明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴
=2+
当且仅当
∴
（2）∵x2+y2+xy=1，
∴（x+y）2-xy=1，
∴（x+y）2-1=xy≤
解关于x+y的不等式可得0≤x+y≤
∴x+y的最大值为
解析
解：（1）证明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴
=2+
当且仅当
∴
（2）∵x2+y2+xy=1，
∴（x+y）2-xy=1，
∴（x+y）2-1=xy≤
解关于x+y的不等式可得0≤x+y≤
∴x+y的最大值为
若直角三角形周长为1，则它的面积的最大值是______．
正确答案
解析
解：设直角边为a，b，则斜边c=
∴
∴1
∴S=
故答案为：
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