- 基本不等式
- 共6247题
某长方体的对角线长是4，有一条棱长为1，那么该长方体的最大体积为______．
正确答案
解析
解：设该长方体的另外两条棱长分别为a、b，则a2+b2+12=16，
∴a2+b2=15，∴
∴该长方体的最大体积为
故答案为
过点（4，1）的直线l与x轴的正半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点，当OA+OB最小时，求直线l的方程．
正确答案
解：设OA=a，OB=b，则l方程可设为
又l过点（4，1），∴有
故OA+OB=a+b=
当且仅当
结合
∴l方程为
化为一般式可得：x+2y-6=0…（14分）
解析
解：设OA=a，OB=b，则l方程可设为
又l过点（4，1），∴有
故OA+OB=a+b=
当且仅当
结合
∴l方程为
化为一般式可得：x+2y-6=0…（14分）
若
①a+b＜ab；
②|a|＞|b|；
③a＜b；
④
正确答案
解析
解：∵
∴-b＞-a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．
③显然错误．
由于 
综上，①④正确，②③错误，
故选C．
若x，y为正实数，4x2+y2+xy=1，求x+y最大值．
正确答案
解：∵4x2+y2+xy=1，
∴4x2+y2+xy-1=0，
令x+y=t，则y=t-x，
∴4x2+（t-x）2+x（t-x）-1=0，
整理可得4x2-tx+t2-1=0，
由△=t2-16（t2-1）≥0可解得-
再由x，y为正实数可得0＜t≤
∴x+y的最大值为：
解析
解：∵4x2+y2+xy=1，
∴4x2+y2+xy-1=0，
令x+y=t，则y=t-x，
∴4x2+（t-x）2+x（t-x）-1=0，
整理可得4x2-tx+t2-1=0，
由△=t2-16（t2-1）≥0可解得-
再由x，y为正实数可得0＜t≤
∴x+y的最大值为：
若0＜x＜1，则函数f（x）=lgx+
正确答案
解析
解：∵0＜x＜1，∴lgx＜0．
∴f（x）=-
故函数f（x）由最大值-4．
故选C．
已知a＞0，b＞0，a+b=2，则
正确答案
解析
解：∵a+b=2，
∴
∴y=
则
故答案为：
正确答案
解：∵S=
在△APQ中，由余弦定理可得：PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA≥2AP•AQ（1-cosA），
当且仅当AP=AQ=
∴当且仅当AP=AQ=
解析
解：∵S=
在△APQ中，由余弦定理可得：PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA≥2AP•AQ（1-cosA），
当且仅当AP=AQ=
∴当且仅当AP=AQ=
设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当
A0
B1
C
D3
正确答案
解析
解：∵x2-3xy+4y2-z=0，
∴z=x2-3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，
∴
∴
∴z=x2-3xy+4y2=（2y）2-3×2y×y+4y2=2y2，
∴
∴
故选B．
若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．
正确答案
18
解析
解：由条件利用基本不等式可得
令xy=t2，即 t=
即得到
又注意到t＞0，故解为 
所以xy≥18．
故答案应为18．
设a，b，x，y∈R+，且a2+b2=1，x2+y2=1，试证：ax+by≤1．
正确答案
证明：∵a2+b2=1，x2+y2=1
∴a2+b2+x2+y2=2
∵a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by
∴
∴
∴ax+by≤1（当且仅当a=x，且b=y时等号成立）
解析
证明：∵a2+b2=1，x2+y2=1
∴a2+b2+x2+y2=2
∵a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by
∴
∴
∴ax+by≤1（当且仅当a=x，且b=y时等号成立）
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