基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，

（1）求x+y最小值．

（2）求xy最大值．

正确答案

解：（1）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，

∴4≤x+y+，化为（x+y）2+2（x+y）-8≥0，

化为（x+y+4）（x+y-2）≥0，

解得x+y≥2，

当且仅当x=y=1时取得最小值2．

（2）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，

∴，

化为，即，

∴，

解得xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号．

∴xy最大值是1．

解析

解：（1）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，

∴4≤x+y+，化为（x+y）2+2（x+y）-8≥0，

化为（x+y+4）（x+y-2）≥0，

解得x+y≥2，

当且仅当x=y=1时取得最小值2．

（2）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，

∴，

化为，即，

∴，

解得xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号．

∴xy最大值是1．

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题型：单选题

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单选题

已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（　　）

Aa2＜b2

B

Ca3b2＜a2b3

Dac2＜bc2

正确答案

C

解析

解：对于A，若a=-3，b=2，则不等式a2＜b2不成立；

对于B，若a=1，b=2，则不等式不成立；

对于C，a3b2-a2b3=a2b2（a-b）＜0，不等式成立；

对于D，若c=0，则不等式ac2＜bc2不成立．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知函数y=ax+2-2的图象过的定点在函数的图象上，其中m，n为正数，则的最小值是______．

正确答案

3+2

解析

解：当x=-2时，y=a0-2=-1，∴函数y=ax+2-2的图象过的定点（-2，-1）．

把（-2，-1）代入函数可得-1=，化为m+2n=1．

又∵m，n为正数，∴=（m+2n）=3+=3+2，

当且仅当m=n=-1取等号．

∴的最小值是3+2．

故答案为：3+2．

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题型：简答题

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简答题

若存在满足+=1（m＞0）的变量x，y（x，y＞0），使得因式x+y-有最大值，求m的取值范围．

正确答案

解：设x2+y2=R2（R＞0），则x=Rcosθ，y=Rsinθ，

代入+=1可得R=+，θ∈（0，），

∴x+y-=R（cosθ+sinθ-1）

=（+）（cosθ+sinθ-1）

=（+）[1-t2+2t-（1+t2）]，其中t=tan∈（0，1），

=2（+）[t（1-t）]=2[m+1-（+）]≤2（m+1-），

当且仅当=即m=∈（，2）

故m的取值范围为：（，2）

解析

解：设x2+y2=R2（R＞0），则x=Rcosθ，y=Rsinθ，

代入+=1可得R=+，θ∈（0，），

∴x+y-=R（cosθ+sinθ-1）

=（+）（cosθ+sinθ-1）

=（+）[1-t2+2t-（1+t2）]，其中t=tan∈（0，1），

=2（+）[t（1-t）]=2[m+1-（+）]≤2（m+1-），

当且仅当=即m=∈（，2）

故m的取值范围为：（，2）

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题型：填空题

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填空题

已知正实数x，y满足x+y+xy=3，则x+y的最小值为______．

正确答案

2

解析

解：正实数x，y满足 x+y+xy=3，则3-（x+y）=xy

令x+y=t（t＞0），可得3-t，即t2+4t-12≥0

解得t≥2，或t≤-6（舍去），

当且仅当x=y=1时，t取到2．故t的最小值为：2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

若点（a，b）在直线x+3y=1上，则2a+8b的最小值为______．

正确答案

2

解析

解：∵点（a，b）在直线x+3y=1上，∴a+3b=1，则2a+8b =21-3b+23b≥2，当且仅当21-3b=23b时，等号成立，

故答案为 2．

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题型：填空题

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填空题

已知xy＞0，且xy-x-y=0，则x+y的最小值为______．

正确答案

4

解析

解：由题意可得x+y=xy＞0，

由基本不等式可得x+y=xy≤，

变形可得（x+y）2-4（x+y）≥0，

解之可得x+y≥4，或x+y≤0，

结合x+y＞0可得x+y≥4，

故x+y的最小值为4

故答案为：4

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（x≥0）的最小值为2，求实数a的值．

正确答案

解：函数f（x）=（x≥0），

即为f（x）==+，

当a=1时，f（x）最小值为1；

令t=（t≥1）．则y=t，

当a＞1时，y=t在0＜t＜上递减，t上递增，

若1，即a≥2，则取最小值2，由2=2，解得a=3成立；

若1＞，即a＜2，则取最小值1+a-1=a，即a=2，不成立；

当a＜1时，则y=t在t≥1递增，即最小值为a，即a=2，不成立．

综上，a=3．

解析

解：函数f（x）=（x≥0），

即为f（x）==+，

当a=1时，f（x）最小值为1；

令t=（t≥1）．则y=t，

当a＞1时，y=t在0＜t＜上递减，t上递增，

若1，即a≥2，则取最小值2，由2=2，解得a=3成立；

若1＞，即a＜2，则取最小值1+a-1=a，即a=2，不成立；

当a＜1时，则y=t在t≥1递增，即最小值为a，即a=2，不成立．

综上，a=3．

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题型：简答题

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简答题

设x，y，a都是实数，且x+y=2a-1，x2+y2=a2+2a-3，求乘积xy的最小值及相应的a的值．

正确答案

解：∵x2+y2=a2+2a-3，

∴a2+2a-3≥0，解得a≥1或a≤-3．（*）

若直线x+y=2a-1与上述圆有公共点，则，

解得，可知满足（*）．

∴a的取值范围是．

又==．

∴．

当a≥1时，函数f（a）=单调递增．

而，∴当a=时，xy取得最小值，即为．

综上可知：当且仅当a=时，xy取得最小值．

解析

解：∵x2+y2=a2+2a-3，

∴a2+2a-3≥0，解得a≥1或a≤-3．（*）

若直线x+y=2a-1与上述圆有公共点，则，

解得，可知满足（*）．

∴a的取值范围是．

又==．

∴．

当a≥1时，函数f（a）=单调递增．

而，∴当a=时，xy取得最小值，即为．

综上可知：当且仅当a=时，xy取得最小值．

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题型：简答题

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简答题

求f（x）=x2+的最小值．

正确答案

解：由基本不等式可得f（x）=x2+≥2=2，

当且仅当x2=即x=±1时取等号，

∴f（x）=x2+的最小值为2

解析

解：由基本不等式可得f（x）=x2+≥2=2，

当且仅当x2=即x=±1时取等号，

∴f（x）=x2+的最小值为2

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正确答案

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