- 基本不等式
- 共6247题
三个互不相等的实数a,b,c成等比数列,且满足a+b+c=2,则实数b的取值范围为______.
正确答案
解析
解:由题意可得b2=ac,a+b+c=2,
∴,
∴a、c 是关于x的一元二次方程x2-(2-b)x+b2=0的两个根.
∴△=(2-b)2-4b2≥0,解之得,
又因为a,b,c成等比数列,故b≠0,
∴b的取值范围是.
函数y=a2-x(a>0且a≠1)的图象过定点A,若点A的坐标满足方程mx+ny=1(m,n>0),则+
的最小值为______.
正确答案
3+2
解析
解:∵函数y=a2-x(a>0且a≠1)的图象过定点A(2,1),
又点A的坐标满足方程mx+ny=1(m,n>0),
∴2m+n=1.
则+
=(2m+n)
=3+
=3+2
,当且仅当n=
m=
-1时取等号.
∴+
的最小值为3+2
.
故答案为:3+2.
已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是( )
正确答案
解析
解:当a=-2,b=-1时,(-2)2>(-2)(-1)显然选项A不正确.
当a=-2,b=-1时,|-2|>|-1|显然选项C不正确.
当a=-2,b=-1时,显然选项D不正确.
故选B
已知函数(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.
(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f′(x)的值域;
(2)证明:①a>b,②a+f(a)>b+f(b).
正确答案
解:(1)f′(x)==
≤1,导函数f′(x)的值域(0,1],
(2)设g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1≤0,所以g(x)在R上是减函数,
∵a>t,方程f(x)=x的一个根为t,即g(t)=0,
∴g(a)<g(t)=0,而g(a)=f(a)-a
∴f(a)-a<0,f(a)<a,f(a)=b,即a>b;
设h(x)=f(x)+x,则h′(x)=f′(x)+1≥0,
∴h(x)在R上是增函数,又a>b,
∴h(a)>h(b),
即a+f(a)>b+f(b).
解析
解:(1)f′(x)==
≤1,导函数f′(x)的值域(0,1],
(2)设g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1≤0,所以g(x)在R上是减函数,
∵a>t,方程f(x)=x的一个根为t,即g(t)=0,
∴g(a)<g(t)=0,而g(a)=f(a)-a
∴f(a)-a<0,f(a)<a,f(a)=b,即a>b;
设h(x)=f(x)+x,则h′(x)=f′(x)+1≥0,
∴h(x)在R上是增函数,又a>b,
∴h(a)>h(b),
即a+f(a)>b+f(b).
下列不等式一定成立的是( )
正确答案
解析
解:A.取x=,则
=lgx,不成立;
B.sinx<0时不成立;
C.∵x2≥0,∴≤1,不成立;
D.∵x>0,=
=
≥0,
∴,正确.
故选:D.
已知实数x满足|x|≥2且x2+ax+b-2=0,则a2+b2的最小值为______.
正确答案
解析
解:由于x2+ax+b-2=0,
则xa+b+x2-2=0,
∴点(a,b)在直线xa+b+x2-2=0上,
则a2+b2的表示点(a,b)与(0,0)的距离的平方;
∴(0,0)到直线xa+b+x2-2=0距离的平方为为,
∴,
令t=1+x2≥5,
∴,
令,t≥5,则y=t+
-6(t≥5)为增函数,
∴当t=5时有最小值;
当且仅当x=±2取等号.
故a2+b2的最小值为.
故答案为:.
设,则
的最小值为______.
正确答案
解:∵,∴1-2x>0
∴=
=13+
≥13+
=25
当且仅当,即x=
时,
的最小值为25
故答案为:25
解析
解:∵,∴1-2x>0
∴=
=13+
≥13+
=25
当且仅当,即x=
时,
的最小值为25
故答案为:25
当x>-1时,函数y=x+的最小值为______.
正确答案
1
解析
解:∵x>-1,∴x+1>0,
∴y=x+=x+1+
-1
≥2-1=1
当且仅当x+1=即x=0时取等号,
故答案为:1.
如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m,试求宽x(单位:m)与所建造的每间熊猫居室面积y(单位:m2)的函数解析式;并求出每间熊猫居室的最大面积.
正确答案
解:设每间熊猫居室的长为ym,依题意,3x+2y=30m,
则2y=30-3x>0,x>0,
∴0<x<10.
设每间熊猫居室的面积为S,
则S=xy=x•=-
x2+15x;
S=x•=
•3x(30-3x)≤
=
(当且仅当x=5时取“=”).
每间熊猫居室的最大面积
解析
解:设每间熊猫居室的长为ym,依题意,3x+2y=30m,
则2y=30-3x>0,x>0,
∴0<x<10.
设每间熊猫居室的面积为S,
则S=xy=x•=-
x2+15x;
S=x•=
•3x(30-3x)≤
=
(当且仅当x=5时取“=”).
每间熊猫居室的最大面积
下列结论正确的是( )
正确答案
解析
解:∵2x2-x+1=2+
>0,故A不成立;
当x≤0时,B不成立;
函数的最小值大于2,故C不成立;
0<x≤2时,函数y=x-有最大值为
,D成立.
故选D.
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