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题型:填空题
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填空题

三个互不相等的实数a,b,c成等比数列,且满足a+b+c=2,则实数b的取值范围为______

正确答案

解析

解:由题意可得b2=ac,a+b+c=2,

∴a、c 是关于x的一元二次方程x2-(2-b)x+b2=0的两个根.

∴△=(2-b)2-4b2≥0,解之得

又因为a,b,c成等比数列,故b≠0,

∴b的取值范围是

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题型:填空题
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填空题

函数y=a2-x(a>0且a≠1)的图象过定点A,若点A的坐标满足方程mx+ny=1(m,n>0),则+的最小值为______

正确答案

3+2

解析

解:∵函数y=a2-x(a>0且a≠1)的图象过定点A(2,1),

又点A的坐标满足方程mx+ny=1(m,n>0),

∴2m+n=1.

+=(2m+n)=3+=3+2,当且仅当n=m=-1时取等号.

+的最小值为3+2

故答案为:3+2

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题型: 单选题
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单选题

已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是(  )

Aa2<ab

B

C|a|<|b|

D

正确答案

B

解析

解:当a=-2,b=-1时,(-2)2>(-2)(-1)显然选项A不正确.

当a=-2,b=-1时,|-2|>|-1|显然选项C不正确.

当a=-2,b=-1时,显然选项D不正确.

故选B

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题型:简答题
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简答题

已知函数(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.

(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f′(x)的值域;

(2)证明:①a>b,②a+f(a)>b+f(b).

正确答案

解:(1)f′(x)==≤1,导函数f′(x)的值域(0,1],

(2)设g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1≤0,所以g(x)在R上是减函数,

∵a>t,方程f(x)=x的一个根为t,即g(t)=0,

∴g(a)<g(t)=0,而g(a)=f(a)-a

∴f(a)-a<0,f(a)<a,f(a)=b,即a>b;

设h(x)=f(x)+x,则h′(x)=f′(x)+1≥0,

∴h(x)在R上是增函数,又a>b,

∴h(a)>h(b),

即a+f(a)>b+f(b).

解析

解:(1)f′(x)==≤1,导函数f′(x)的值域(0,1],

(2)设g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1≤0,所以g(x)在R上是减函数,

∵a>t,方程f(x)=x的一个根为t,即g(t)=0,

∴g(a)<g(t)=0,而g(a)=f(a)-a

∴f(a)-a<0,f(a)<a,f(a)=b,即a>b;

设h(x)=f(x)+x,则h′(x)=f′(x)+1≥0,

∴h(x)在R上是增函数,又a>b,

∴h(a)>h(b),

即a+f(a)>b+f(b).

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题型: 单选题
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单选题

下列不等式一定成立的是(  )

A

B

C(x∈R)

D(x>0)

正确答案

D

解析

解:A.取x=,则=lgx,不成立;

B.sinx<0时不成立;

C.∵x2≥0,∴≤1,不成立;

D.∵x>0,==≥0,

,正确.

故选:D.

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题型:填空题
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填空题

已知实数x满足|x|≥2且x2+ax+b-2=0,则a2+b2的最小值为______

正确答案

解析

解:由于x2+ax+b-2=0,

则xa+b+x2-2=0,

∴点(a,b)在直线xa+b+x2-2=0上,

则a2+b2的表示点(a,b)与(0,0)的距离的平方;

∴(0,0)到直线xa+b+x2-2=0距离的平方为为

令t=1+x2≥5,

,t≥5,则y=t+-6(t≥5)为增函数,

∴当t=5时有最小值

当且仅当x=±2取等号.

故a2+b2的最小值为

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

,则的最小值为______

正确答案

解:∵,∴1-2x>0

==13+≥13+=25

当且仅当,即x=时,的最小值为25

故答案为:25

解析

解:∵,∴1-2x>0

==13+≥13+=25

当且仅当,即x=时,的最小值为25

故答案为:25

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题型:填空题
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填空题

当x>-1时,函数y=x+的最小值为______

正确答案

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解析

解:∵x>-1,∴x+1>0,

∴y=x+=x+1+-1

≥2-1=1

当且仅当x+1=即x=0时取等号,

故答案为:1.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m,试求宽x(单位:m)与所建造的每间熊猫居室面积y(单位:m2)的函数解析式;并求出每间熊猫居室的最大面积.

正确答案

解:设每间熊猫居室的长为ym,依题意,3x+2y=30m,

则2y=30-3x>0,x>0,

∴0<x<10.

设每间熊猫居室的面积为S,

则S=xy=x•=-x2+15x;

S=x•=•3x(30-3x)≤=(当且仅当x=5时取“=”).

每间熊猫居室的最大面积

解析

解:设每间熊猫居室的长为ym,依题意,3x+2y=30m,

则2y=30-3x>0,x>0,

∴0<x<10.

设每间熊猫居室的面积为S,

则S=xy=x•=-x2+15x;

S=x•=•3x(30-3x)≤=(当且仅当x=5时取“=”).

每间熊猫居室的最大面积

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题型: 单选题
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单选题

下列结论正确的是(  )

A∃x∈R,使2x2-x+1<0成立

B∀x>0,都有成立

C函数的最小值为2

D0<x≤2时,函数y=x-有最大值为

正确答案

D

解析

解:∵2x2-x+1=2+>0,故A不成立;

当x≤0时,B不成立;

函数的最小值大于2,故C不成立;

0<x≤2时,函数y=x-有最大值为,D成立.

故选D.

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