基本不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（1）≥2成立当且仅当a，b均为正数．

（2）的最小值是．

（3）的最大值是．

（4）|a+|≥2成立当且仅当a≠0．

以上命题是真命题的是：______．

正确答案

（3）（4）

解析

解：（1）不正确，因为当a，b均为负数时，不等式仍成立．

（2）不正确，因为当x＞0时，=≥3，故函数的最小值等于3．

（3）正确，∵≤ =•=，

（4）|a+|≥2成立当且仅当|a|+≥2，当且仅当 a≠0，故（4）正确．

故答案为（3）（4）．

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题型：简答题

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简答题

现要围成一面靠墙，三面用钢筋网的长方形的笼子．

（1）现有12m长的钢网，当笼子的边长分别为多少时可使笼子的面积最大？

（2）若使笼子的面积为32cm2，则笼子的边长分别为多少时可使所用钢网总长最小？

正确答案

解：（1）如图所示，设矩形的长为xm，则宽y==（m）．

∴笼子的面积S=xy==（0＜x＜12），

当长x=6时，可使笼子的面积最大为18m2，此时笼子的宽y=3m．

（2）使笼子的面积为32cm2，设笼子的长为xcm，则宽为cm．（x＞0）

所用钢网总长l=x+=16，当且仅当x=8，取等号．

∴当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．

答：（1）当笼子的长为6m，宽为3m时可使笼子的面积最大为18m2；

（2）当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．

解析

解：（1）如图所示，设矩形的长为xm，则宽y==（m）．

∴笼子的面积S=xy==（0＜x＜12），

当长x=6时，可使笼子的面积最大为18m2，此时笼子的宽y=3m．

（2）使笼子的面积为32cm2，设笼子的长为xcm，则宽为cm．（x＞0）

所用钢网总长l=x+=16，当且仅当x=8，取等号．

∴当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．

答：（1）当笼子的长为6m，宽为3m时可使笼子的面积最大为18m2；

（2）当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．

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题型：填空题

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填空题

设a、b为两个正数，且a+b=2，则+的取值范围是______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：∵a、b为两个正数，且a+b=2，

∴+===2，当且仅当a=b=1时取等号．

∴+的取值范围是[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

已知x，y，z＞0，x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．

正确答案

证明：由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=9，

可得：x2+y2+z2≥3，

即x2+y2+z2的最小值为3，

故答案为：3．

解析

证明：由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=9，

可得：x2+y2+z2≥3，

即x2+y2+z2的最小值为3，

故答案为：3．

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题型：单选题

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单选题

已知a、b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：a、b为正实数，且a+b=2，即有0＜a＜2，b=2-a，

则+=+=a++1-a+

=1++=1+（a+3-a）（+）

=1+（3++）

≥2+•2=2+．

当且仅当=，即a=6-3，b=3-4．取得等号．

则最小值为．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

某研究性学习小组要制作一个容积为0.18m3，深为0.5m的长方体无盖水箱，箱底和箱壁的造价每平方米分别为400元和100元，那么水箱的最低总造价为______元．

正确答案

264

解析

解：设池底一边为x米，则另一边为米，

总造价为y元，则=100（）+144≥264，

当且仅当，即x=0.6米时，ymin=264元．

故答案为：264．

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题型：简答题

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简答题

备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意有：y=100（+x-2），其中x＞2；

（Ⅱ）由均值不等式可得：y=100（+x-2）=100（+x-2）≥100（2-2）=2200，

当且仅当=x，即x=12时取“=”

综上：当x=12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．

解析

解：（Ⅰ）依题意有：y=100（+x-2），其中x＞2；

（Ⅱ）由均值不等式可得：y=100（+x-2）=100（+x-2）≥100（2-2）=2200，

当且仅当=x，即x=12时取“=”

综上：当x=12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．

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题型：填空题

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填空题

若点A（m，n）在第一象限，且在直线+=1上，则mn的最大值是______．

正确答案

3

解析

解：点A在直线+=1上，

得：+=1，即为4m+3n=12，

因为点A在第一象限，所以m＞0，n＞0，

由4m+3n≥2=2，

即12≥2，即mn≤3

当且仅当4m=3n=6时，取等号．

故mn的最大值为3．

故答案为：3．

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题型：简答题

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简答题

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

正确答案

解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE，①

又S△ADE=S△ABC==x•AE•sin60°⇒x•AE=2．②

②代入①得y2=x2+-2（y＞0），

∴y=（1≤x≤2）；

（2）如果DE是水管y=≥，

当且仅当x2=，即x=时“=”成立，故DE∥BC，且DE=．

如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，

可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，

故f（x）max=f（1）=f（2）=5．∴ymax=．

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．

解析

解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE，①

又S△ADE=S△ABC==x•AE•sin60°⇒x•AE=2．②

②代入①得y2=x2+-2（y＞0），

∴y=（1≤x≤2）；

（2）如果DE是水管y=≥，

当且仅当x2=，即x=时“=”成立，故DE∥BC，且DE=．

如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，

可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，

故f（x）max=f（1）=f（2）=5．∴ymax=．

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．

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题型：填空题

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填空题

若关于x的不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）恒成立，则+a的最小值为______．

正确答案

6

解析

解：当a≠0时，要使不等式ax2+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，

需，即

解得0＜a＜4．

则+a≥2=6，当且仅当a=3∈（0，4），取得等号．

则所求最小值为6．

故答案为：6．

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