基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．

（1）求实数b，c的值；

（2）求函数（x＞0），求函数的最小值及此时x的值．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=x2+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．

∴-4，-1是方程x2+bx+c=0的两根

∴

∴b=5，c=4

∴f（x）=x2+5x+4

（2）函数=

∵x＞0，∴

∴

当且仅当，即x=2时取等号

∴函数g（x）的最小值为9，此时x=2

解析

解：（1）∵函数f（x）=x2+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．

∴-4，-1是方程x2+bx+c=0的两根

∴

∴b=5，c=4

∴f（x）=x2+5x+4

（2）函数=

∵x＞0，∴

∴

当且仅当，即x=2时取等号

∴函数g（x）的最小值为9，此时x=2

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题型：填空题

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填空题

已知x＞0，y＞0，且+=1，m是正常数，若x+y的最小值为9，则m=______．

正确答案

4

解析

解：∵x＞0，y＞0，且+=1，m是正常数，

∴x+y=（x+y）（+）=1+m++≥1+m+2=9

解得m=4

故答案为：4

1

题型：简答题

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简答题

甲、乙两地相距100Km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50Km/h．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v（单位：Km/h）的平方成正比，且比例系数为4；固定部分为a2元（a＞0）．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

正确答案

解：设汽车的运输成本为y，由题意得（0＜v≤50）…（4分）

当时，即且时，y有最小值为400a …（6分）

当时，设0＜v1＜v2＜50，则

=…（8分）

∵，∴

∴y2-y1＜0

∴函数为减函数…（10分）

此时当v=50时y有最小值为20000+2a2…（12分）

解析

解：设汽车的运输成本为y，由题意得（0＜v≤50）…（4分）

当时，即且时，y有最小值为400a …（6分）

当时，设0＜v1＜v2＜50，则

=…（8分）

∵，∴

∴y2-y1＜0

∴函数为减函数…（10分）

此时当v=50时y有最小值为20000+2a2…（12分）

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题型：填空题

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填空题

某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB＞AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时长方形ABCD的面积为______．

正确答案

解析

解：设AB=x，DP=y，BC=2-x，PC=x-y．

∵x＞2-x，∴1＜x＜2，

∵△ADP≌△CB′P，∴PA=PC=x-y．

由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，

∴y=2（1-），1＜x＜2，

解：（1）连接EC，作DF⊥EC，垂足为F

∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，

∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，

∵DE=CD

∴∠DEC=∠DCE=30°，

∴∠CEA=∠ECB=90°，

∴四边形EABC为矩形，

∴DE=xm，

∴AE=6-x，DF=x，EC=x，

∴S=-x2+6x（0＜x＜6）．

（2）S=-x2+6x=-（x-4）2+12．

当x=-=4m时，S最大=12m2．

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题型：填空题

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填空题

若x＞0，y＞0，且满足4x+y=xy，则x+y的最小值为______．

正确答案

9

解析

解：∵x＞0，y＞0，且满足4x+y=xy，

∴y=，x＞1，x-1＞0

∴z=x+y=x=（x-1）+5=9

（x=3时等号成立）

故答案为：9

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题型：填空题

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填空题

已知直线kx-y+1-k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，则的最小值为______．

正确答案

4

解析

解：整理直线方程得y=k（x-1）+1，

∴点A的坐标为（1，1），

∵点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，

∴m+n-1=0，即m+n=1，

∴==，

∵mn≤=，m=n时取等号，

∴≥4，

即的最小值为4，

故答案为：4．

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