- 基本不等式
- 共6247题
函数y=ax+1-3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=-2（m＞0，n＞0）上，则
A3
B2
C
D
正确答案
解析
解：函数y=ax+1-3（a＞0，a≠1）过定点A（-1，-2），
∵点A在直线mx+ny=-2（m＞0，n＞0）上，∴-m-2n=-2，即m+2n=2．
则
故选：C．
设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x2+1；②x2-2x+2；③x+
正确答案
①④
解析
解：对于式子①：根据实数的性质x2≥0，可得x2+1≥1，再结合x≠0可得x2+1＞1；
对于式子②通过对x2-2x+2=（x-1）2+1≥1，当x=1时取等号；
对于式子③，可通过取x＜0时，x+
对于式子④：x2+
故答案为：①④．
（2015秋•云南校级月考）下列结论：①函数y=x（1-3x）（x＞0）有最大值
正确答案
解析
解：①y=x（1-3x）≤
②因为x＜0，所以y=2-4x-
③因为a＞0，所以（1+a）（1+
故选：B．
已知数列{an}，定义其平均数是Vn=
（Ⅰ）若数列{an}的平均数Vn=2n+1，求an；
（Ⅱ）若数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为Vn，求证：
正确答案
解：（Ⅰ）因为Vn=
所以
变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①
当n≥2时有 a1+a2+…+an-1=2（n-1）2+（n-1）②，
①-②得an=4n-1（n≥2）．
又当n=1时，V1=a1=2×1+1=3，
适合an=4n-1．
故an=4n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）数列{an}的前n项和：a1+a2+…+an=
∴Vn=
∴
令Sn=1+
①-②，得
∴Sn=4-
∴
解析
解：（Ⅰ）因为Vn=
所以
变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①
当n≥2时有 a1+a2+…+an-1=2（n-1）2+（n-1）②，
①-②得an=4n-1（n≥2）．
又当n=1时，V1=a1=2×1+1=3，
适合an=4n-1．
故an=4n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）数列{an}的前n项和：a1+a2+…+an=
∴Vn=
∴
令Sn=1+
①-②，得
∴Sn=4-
∴
已知直线l1：a2x+y+2=0与直线l2：bx-（a2+1）y-1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（ ）
正确答案
解析
解：∵直线l1与l2的斜率存在，且两直线垂直，
∴a2b-（a2+1）=0，
∴b=
当a＞0时，|ab|=ab=a+
综上，|ab|的最小值为2．
故选C
已知a，b为正实数，且
A
B（-∞，3]
C（-∞，6]
D
正确答案
解析
解：a，b都是正实数，且a，b满足
则a+b=（a+b）
≥
当且仅当
联立①②解得a=
要使a+b-c≥0恒成立，只要
故选A．
设函数y=x+
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值．
（2）当 0＜a＜1 时，求函数f（x）的最小值．
正确答案
解：（1）当a=2时，∵x≥0，∴
∴函数f（x）的最小值是
（2）当 0＜a＜1 时，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当且仅当x=0时f（x）取得最小值f（0）=a．
故函数f（x）的最小值为a．
解析
解：（1）当a=2时，∵x≥0，∴
∴函数f（x）的最小值是
（2）当 0＜a＜1 时，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当且仅当x=0时f（x）取得最小值f（0）=a．
故函数f（x）的最小值为a．
已知0＜a＜b＜1，则a+b，a2+b2，2ab从小到大的顺序依次是______．
正确答案
2ab＜a2+b2＜a+b
解析
解：∵0＜a＜b＜1，∴a2+b2＞2ab，a＞a2，b＞b2．
∴a+b＞a2+b2＞2ab．
故答案为2ab＜a2+b2＜a+b．
在△ABC中，
正确答案
4
解析
解：∵
∴
∴
又
∴
∴m=
∴m+n=1．（m＞0．n＞0）
∴
故答案为：4．
已知圆x2+y2-2y-5=0关于直线ax+by+c-1=0（b＞0，c＞0）对称，则
正确答案
解析
解：∵圆x2+y2-2y-5=0关于直线ax+by+c-1=0（b＞0，c＞0）对称，
∴圆心（0，1）在直线上，∴b+c=1．
∴
∴
故选：A．
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