- 基本不等式
- 共6247题
下列命题中，真命题是（ ）
A∃x0∈R，e
B∀x∈R，2x＞x2
Cx+
Da2+b2≥
正确答案
解析
解：选项A，由指数函数的性质可得任意x均有ex＞0，故错误；
选项B，当x=3时，不满足2x＞x2，故错误；
选项C，当x为负数时，显然x
选项D，a2+b2-
故a2+b2≥
答选：D
已知两个正数x，y满足x+4y+5-xy=0，则xy取最小值时x=______，y=______．
正确答案
10
2.5
解析
解：∵x+4y+5-xy=0，∴x+4y=xy-5①，
∵x，y是正数，∴x+4y≥4
代入①式得，xy-5≥4
∴xy取最小值25，
∵x=4y，
∴解得x=10，y=2.5，
故答案为：10，2.5．
正确答案
解：设箱底边长为xcm，则箱高h=
∴箱子容积V（x）=x2h=
求导数，得V′（x）=48x-
令V′（x）=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=32，
∵x∈（0，32）时，V′（x）＞0；x∈（32，48）时，V′（x）＜0，
∴V（x）在区间（0，32）上为增函数，区间（32，48）上为减函数，
由此可得V（x）的最大值是V（32）=8192．
故箱底的边长是32cm时，箱子的容积最大，最大容积是8192cm3．
解析
解：设箱底边长为xcm，则箱高h=
∴箱子容积V（x）=x2h=
求导数，得V′（x）=48x-
令V′（x）=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=32，
∵x∈（0，32）时，V′（x）＞0；x∈（32，48）时，V′（x）＜0，
∴V（x）在区间（0，32）上为增函数，区间（32，48）上为减函数，
由此可得V（x）的最大值是V（32）=8192．
故箱底的边长是32cm时，箱子的容积最大，最大容积是8192cm3．
已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A2πR2
B
C
D
正确答案
解析
解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有
∴h=3R-3r
∴S=2πrh+2πr2=-4πr2+6πRr
=-4π（r2-
=-4π（r-
∴当r=
故选B．
函数f（x）=x+
正确答案
4
解析
解：∵x＞0，
∴f（x）=x+
当且仅当x=
故答案为：4
某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元．汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用．设这种汽车使用x（x∈N*）年的维修费用为g（x），年平均费用为f（x）．
（1）求出函数g（x），f（x）的解析式；
（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
正确答案
解：（1）由题意知，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，所以使用x年的维修总费用为g（x）=
依题得
（2）f（x）=
当且仅当
∴x=10时y取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元．-----（12分）
解析
解：（1）由题意知，年维修费用第一年是0.2万元，第二年是0.4万元，第三年是0.6万元，…，以后逐年递增0.2万元，组成一等差数列，所以使用x年的维修总费用为g（x）=
依题得
（2）f（x）=
当且仅当
∴x=10时y取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元．-----（12分）
已知定义在R上的函数f（x）=x2-（3-a）x+2（1-a）（其中a∈R）．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x-3对任意x＞2恒成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-2）[x-（1-a）]，
∴f（x）＞0⇔（x-2）[x-（1-a）]＞0，
当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（1-a，+∞）；
当a=-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞-1时，不等式的解集为（-∞，1-a）∪（2，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥x-3，即
又当x＞2时，
∴a≥-2．
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-2）[x-（1-a）]，
∴f（x）＞0⇔（x-2）[x-（1-a）]＞0，
当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（1-a，+∞）；
当a=-1时，不等式的解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞-1时，不等式的解集为（-∞，1-a）∪（2，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥x-3，即
又当x＞2时，
∴a≥-2．
若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是 ______．
正确答案
1
解析
解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0
∴lga•lgb≤
当且仅当a=b=10时等号成立
即lga•lgb的最大值是1
故答案为：1．
△ABC对边abc，面积S、A定值，P线是段BC动点，PD⊥AB，PE⊥AC，求△PDE的面积最大值，a与周长p的最小值．
正确答案
则有bc=
又S=
即有cx+by=2S≥2
即为xy≤
则△PDE的面积为
即有最大值为
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA，
即有a≥
则a+b+c≥
则有△PDE的面积最大值为
周长p的最小值为2
解析
则有bc=
又S=
即有cx+by=2S≥2
即为xy≤
则△PDE的面积为
即有最大值为
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA，
即有a≥
则a+b+c≥
则有△PDE的面积最大值为
周长p的最小值为2
为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2-50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
正确答案
解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（10+10）x-y
=20x-x2+50x-900
=-x2+70x-900
=-（x-35）2+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=-（x-35）2+325在[10，15]上为增函数，
可求得P∈[-300，-75]．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．
（2）设平均处理成本为
当且仅当
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
解析
解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（10+10）x-y
=20x-x2+50x-900
=-x2+70x-900
=-（x-35）2+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=-（x-35）2+325在[10，15]上为增函数，
可求得P∈[-300，-75]．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．
（2）设平均处理成本为
当且仅当
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
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