基本不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知关于x的方程sinx+cosx=a与tanx+cotx=a的解集都是空集，则实数a的取值范围是______．

正确答案

方程sinx+cosx=a 化简为：sin（ x+）=a，即 sin（ x+）=，

若没有解集，那么＞1或＜-1，

解得 a＞或a＜-，即实数a的取值范围是（，+∞）∪（-∞，-）．

∵tanx+cotx≥2，或tanx+cotx≤-2，若tanx+cotx=a的解集是空集，

则有-2＜a＜2，即实数a的取值范围是（-2，2 ）．

对这两个实数a的取值范围取交集可得(-2，-)∪(，2)，

故答案为 (-2，-)∪(，2)．

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题型：填空题

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填空题

设a=，b=p，c=x+y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是______．

正确答案

对于正实数x，y，由于a=≥=，c=x+y≥2，b=p，且三角形任意两边之和大于第三边，

∴+2＞b=p，且 p+＞2，且 p+2＞．

解得 1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），

故答案为（1，3）．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，=24，sinA+sinC=．

（1）求cosB；

（2）求△ABC的面积的最大值．

正确答案

（1）=24⇒=24

∴2（1-cosB）=sinB （3分）

∴4（1-cosB）2=sin2B=（1-cosB）（1+cosB）

∵1-cosB≠0，

∴4（1-cosB）=1+cosB，

∴cosB=，（6分）

（2）∵sinA+sinC=，

∴+=，即a+c=16．

又∵cosB=，∴sinB=．（8分）

∴S=acsinB=ac≤(

a+c

2

)2=．（10分）

当且仅当a=c=8时，Smax=．（12分）

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题型：填空题

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填空题

已知下列命题：

①若=(3，4)，则按=(-2，1)平移后的坐标为（-5，5）；

②已知M是△ABC的重心，则 + + =；

③周长为+1的直角三角形面积的最大值为；

④在△ABC中，若==，则△ABC是等边三角形．

其中正确的序号是（将所有正确的序号全填在横线上）______．

正确答案

①∵=(3，4)

∵向量是可平移的，平移后只改变起点、中的位置，不改变向量的坐标

∴平移后的坐标为（3，4），故错；

②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=BC，

由三角形法则 ++=+-+-=3--=3×--

=(+)--=

故++=正确；

③直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，周长L为+1，面积为s，

a+b+=L≥2 +．

∴≤．

∴S=ab≤（）2

=•[]2=L2=．故正确；

④∵==由正弦定理 ==，得sinA=sinB=sinC，

∴A=B=C⇒a=b=c，则△ABC是等边三角形，正确．

故答案为：②③④．

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题型：填空题

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填空题

设M是△ABC内一点，且•=2，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(，x，y)，则+的最小值是______．

正确答案

由•=2，∠BAC=30°，

得||||=4，

所以S△=||||sinA=1，

∴x+y=，

则+=2(+)=2(5++4)≥18，

当且仅当时，+的最小值为18．

故答案为：18

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题型：简答题

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简答题

（文）已知复数z=sin+icos，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=．

（1）求证：tgA•tgB=；

（2）若|AB|=6，当∠C最大时，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由题意可得 |z|2=[sin]2+[cos]2=[]2，…（2分）

∴•+=，4cos（A-B）=5cos（A+B），9sinA•sinB=cosA•cosB，

∴tgA•tgB=． …（6分）

（2）tgC=-tg(A+B)=-(tgA+tgB)≤-=-，

当且仅当tgA=tgB=时，tgC最大，即∠C最大…（9分）

此时△ABC是等腰三角形，且底边上的高h=|AB|•tgA=1，

则S△ABC=3．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；

（2）若三角形有一个内角为arccos，周长为定值p，求面积S的最大值；

（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S=absinC≤×9×8sinC=36sinC，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a9，b8，c4时该三角形面积最大，此时cosC=，sinC=，所以，该三角形面积的最大值是．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．

正确答案

（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则 y==≥6，

∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为 12+6．

（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为 arccos，则周长p=x+y+，

∴p≥2+=，即 xy≤p2．

又S=xysin(arccos)=xy≤p2，∴面积S的最大值为 p2．

（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]

=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，

而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．

其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则 a=4．

∴当三角形的边长a、b、c 分别为 4，8，4的直角三角形时，其面积取得最大值16．

（另S=bcsinA≤•8•4•sin90°=16）．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，则△ABC面积的最大值为______．

正确答案

∵△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，

∴a=6，b+c=2a=12，

由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA，

∴2bc（1+cosA）=144-36=108，

∴bc=≤(

b+c

2

)2=36（当且仅当b=c=6时取“=”），

∴cosA≥，又0＜A＜π，

∴0＜A≤，

∴S△ABC=bcsinA

=•×sinA

=27×

=27tan≤27tan=9，

故答案为：9．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．

（1）求角B及边b的最大值．

（2）设△ABC的面积为s，求s+的最大值．

正确答案

（1）∵a+b+c=6，b2=ac，

∴cosB==≥=，a=c时取等号，故B有最大值．

又b=≤=，从而b有最大值2，a=c时取等号．

（2）∵S=acsinB =b2sinB，由（1）知B=，b=2时它有最大值．

•=accosB===-（b+3）2+27，

∴=≤，即当b=2时有最大值

∴S+的最大值为+．

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题型：填空题

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填空题

在周长为16的三角形ABC中，AB=6，A，B所对的边分别为a，b，则abcosC的取值范围是______．

正确答案

由题意可得三角形ABC中，a+b=16-6=10，∴b=10-a．再由任意两边之和大于第三边可得 2＜a＜8．

由余弦定理可得 36=a2+b2-2ab•cosC，

∴2ab•cosC=a2+b2-36=a2-10a+32=（a-5）2+7，

∴7≤a＜9+7=16，

故abcosC的取值范围是[7，16），

故答案为[7，16）．

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