基本不等式_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（　　）

A3

B4

C5

D6

正确答案

B

解析

解：∵a＞0，b＞0，+=1；

∴a＞1，b＞1，a+b=ab；

∴＞0，＞0，

∴+≥2

=2=4；

（当且仅当=，即a=，b=3时，等号成立）．

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

正确答案

解：（1）设每件定价为t元，

则（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，

整理得t2-65t+1000≤0⇔25≤t≤40，

∴要满足条件，每件定价最多为40元；

（2）由题得当x＞25时：有解，

即：有解．

又，

当且仅当x=30＞25时取等号，

∴a≥12．

即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．

解析

解：（1）设每件定价为t元，

则（8-（t-25）×0.2）•t≥25×8，

整理得t2-65t+1000≤0⇔25≤t≤40，

∴要满足条件，每件定价最多为40元；

（2）由题得当x＞25时：有解，

即：有解．

又，

当且仅当x=30＞25时取等号，

∴a≥12．

即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．

1

题型：填空题

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填空题

设x＞0，y＞0，恒成立，则m的范围是______．

正确答案

m≤4

解析

解：∵（）（x+y）=2++≥2+2=4（x=y时，等号成立），

∴m≤4．

故答案为：m≤4．

1

题型：填空题

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填空题

已知正项等差数列{an}中，a5+a16=10，则a5•a16的最大值是______．

正确答案

25

解析

解：∵等差数列{an}是正数，

∴a5•a16．

当且仅当a5=a16=5时等号成立，

∴a5•a16的最大值是25．

故答案为：25．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•顺义区期末）某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元．设这辆汽车使用n（n∈N*）年的年平均费用为f（n）.则f（n）与n的函数关系式f（n）=______；这辆汽车报废的最佳年限约为______年．

正确答案

10

解析

解：根据题意，年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列；

∴n年的维修保养费用为；

∴==；

即，n∈N*；

；

∴f（n）≥4，当，即n=10时取“=”；

∴这辆汽车报废的最佳年限约为10年．

故答案为：，10．

1

题型：单选题

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单选题

已知x＞0，y＞0，2x+y+2xy=8，则2x+y的最小值是（　　）

A3

B4

C

D

正确答案

B

解析

解：考察基本不等式2x+y=8-2x•y≥8-（）2（当且仅当x=2y时取等号）

整理得（2x+y）2+4（2x+y）-32≥0

即（2x+y-4）（2x+y+8）≥0，又2x+y＞0，

所以2x+y≥4（当且仅当2x=y时取等号）

则2x+y的最小值是 4

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•珠海期末）已知a＞0，b＞0，且=2．

（1）求ab的最小值；

（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．

正确答案

解：（1）由a＞0，b＞0，且=2，

可得2=+≥2，

即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，

则ab的最小值为2；

（2）a+2b=（a+2b）（+）=（5++）≥（5+2）=；

等号成立的充要条件是a=b=，

∴a+2b的最小值为；此时a=b=．

解析

解：（1）由a＞0，b＞0，且=2，

可得2=+≥2，

即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，

则ab的最小值为2；

（2）a+2b=（a+2b）（+）=（5++）≥（5+2）=；

等号成立的充要条件是a=b=，

∴a+2b的最小值为；此时a=b=．

1

题型：单选题

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单选题

若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（　　）

A4

B6

C8

D9

正确答案

D

解析

解：∵正实数a，b满足a+b=1，

∴+==5+（）≥9

故+的最小值是9

故选D

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知•=9，sinB=cosAsinC，面积S△ABC=6．

（1）求△ABC的三边的长a，b，c；

（2）设P是△ABC（不含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z且=+．

①写出x、y、z所满足的等量关系；

②求+的最小值．

正确答案

解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c

由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC

∴sinAcosC=0，可得C=

又∵•=9，得bccosA=9

∴结合ccosA=b，有b2=9，可得b=3．

∵S△ABC=ab=6，∴a=4

结合c2=a2+b2得c=5

即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；

（2）①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC，可得•3x+•4y+•5z=6

故3x+4y+5z=12；

②∵=+，

∴点P在角A的平分线上，

∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），

∴=

当且仅当x=y时上式取“=”．

解析

解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c

由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC

∴sinAcosC=0，可得C=

又∵•=9，得bccosA=9

∴结合ccosA=b，有b2=9，可得b=3．

∵S△ABC=ab=6，∴a=4

结合c2=a2+b2得c=5

即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；

（2）①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC，可得•3x+•4y+•5z=6

故3x+4y+5z=12；

②∵=+，

∴点P在角A的平分线上，

∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），

∴=

当且仅当x=y时上式取“=”．

1

题型：填空题

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填空题

已知2a+3b=3，则4a+8b的最小值是______．

正确答案

解析

解：根据基本不等式的性质，有4a+8b≥2=2，

又由2a+3b=3，

∴，

则4a+8b≥4

故答案为：4．

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