热门试卷

证明见解析

证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，

，

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，

所以

(2)由二项式定理有：

(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，

(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，

由(1)知miA＞niA (1＜i≤m＜n ，而C=

∴miCin＞niCim(1＜m＜n

∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，

mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，

∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，

即(1+m)n＞(1+n)m成立.

（1）证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=（a2-1）（b2-1）．

∵|a|＜1，|b|＜1，

∴a2-1＜0，b2-1＜0．

∴|1-ab|2-|a-b|2＞0．

∴|1-ab|＞|a-b|，=＞1．

（2）∵||＞1⇔|1-abλ|2-|aλ-b|2=（a2λ2-1）（b2-1）＞0．

∵b2＜1，

∴a2λ2-1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立．

当a=0时，a2λ2-1＜0成立；

当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而＞1，

∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．

（3）||＜1⇔（）2＜1⇔（a+b）2＜（1+ab）2⇔a2+b2-1-a2b2＜0⇔（a2-1）（b2-1）＜0．

∵|a|＜1，

∴a2＜1．

∴1-b2＞0，

即-1＜b＜1．

（1）原不等式可化为（x+1）（x-a）＜0，

当a＞-1时，不等式解集为{x|-1＜x＜a}，

当a＜-1时，不等式解集为{x|a＜x＜-1}，

当a=-1时，原不等式即为（x+1）2＜0，不等式解集为∅；

（2）∵x，y为正数且2x+5y=20，

∴xy=•2x•5y≤()2=×102=10，

当且仅当2x=5y，即x=5，y=2时取“=”，

即x=2，y=5时，xy取得最大值10．

（I）设每隔t天购进大米一次，因为每天需大米一吨，所以一次购大米t吨，那么库存费用为2[t+（t-1）+（t-2）+…+2+1]=t（t+1），（2分）

设每天所支出的总费用为y1，则y1=[t(t+1)+100]+1500=t++1501≥2+1501=1521．

当且仅当t=，即t=10时等号成立．

所以每隔10天购买大米一次使平均每天支付的费用最少．（7分）

（II）若接受优惠条件，则至少每隔20天购买一次，

设每隔n（n≥20）天购买一次，每天支付费用为y2，

则y2=[n(n+1)+100]+1500×0.95=n++1426

∵n∈[20，+∞)，f(n)=n+在[20，+∞）上为增函数，

∴当n=20时，y2有最小值：20++1426=1451＜1521．

故食堂可接受                                                  （13分）

证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得++≥3，

即 ++≥，所以+++3abc≥+3abc，

而 +3abc≥2=6，所以 +++3abc≥6

等号成立的条件为，得a=b=c=1．

证明 （1）设a、b、c为等比数列，a=，c=bq（q＞0且q≠1）

∴an+cn=+bnqn=bn（+qn）＞2bn

（2）设a、b、c为等差数列，

则2b=a+c猜想＞(

a+c

2

)n（n≥2且n∈N*）

下面用数学归纳法证明

①当n=2时，由2（a2+c2）＞（a+c）2，∴＞(

a+c

2

)2

②设n=k时成立，即＞(

a+c

2

)k．

则当n=k+1时，=（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1）＞（ak+1+ck+1+ak•c+ck•a）=（ak+ck）（a+c）

＞（）k•（）=（）k+1

也就是说，等式对n=k+1也成立

由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立