基本不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

用一段长为36m的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，并求出最大面积．

正确答案

设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则x+2y=36．

S=xy=x•（2y）≤•(

x+2y

2

)2=162，

当且仅当x=2y，即：x=18，y=9时，面积S取得最大值，且Smax=162m2．

所以：当矩形菜园的长为18m，宽为9m时，面积最大为162m2．

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题型：简答题

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简答题

已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x2+y2-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．

（1）求（a-4）（b-4）的值；

（2）求线段AB的中点的轨迹方程；

（3）求△AOM的面积S的最小值．

正确答案

（1）直线AB的方程为+=1，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即=2．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．

（2）设M（x，y），则，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）

（3）S△AOM=a•=(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2+6=4+6．

当且仅当a=b=4+2时面积取最小值6+4．

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题型：简答题

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简答题

是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.

正确答案

1，2，3.

由得,所以,

由此得到.

又因为,故.………………………4分

又因为, 令则.……………6分

当时，关于t单调递增，所以，.

因此可以取1，2，3.…………………………………………………………………10分

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题型：填空题

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填空题

已知正实数x，y满足x+y=1，若+的最小值为9，则正数a=______．

正确答案

∵a＞0，

∴+=（+）（x+y）=1+a++≥a+1+2=（+1）2，

当且仅当=取等号，

则有(+1)2=9，解得a=4．

故答案为：4．

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题型：简答题

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简答题

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为24吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为18吨，由于该水域面积限制，最多只能放置12个网箱．已知养殖总成本为50+2x万元．

（1）试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？

（2）若鱼的市场价为1万元/吨，应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大？

正确答案

（1）设p=ax+b，由已知得，∴

∴p=-2x+32

∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）2+128（x∈N+，x≤12）

∴当x=8时，f（x）最大

即放置8个网箱时，可使综产量达到最大

（2）收益为y=（-2x2+32）×1-（50+2x）（x∈N+，x≤12）

∴=-2x-+30（x∈N+，x≤12）

∵2x+≥20（当且仅当2x=，即x=5时取等号）

∴y≤-20+30=10

即x=5时，ymax=10

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题型：简答题

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简答题

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．

（Ⅰ）求证：（+）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；

（Ⅱ）求函数f（x）=+（0＜x＜）的最小值，并指出取最小值时x的值．

正确答案

（Ⅰ）∵（+）（x+y）=a2+++b2=a2+b2+（+）

≥a2+b2+2=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）=+=+=（+）（3x2+1-3x2）

由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=时等号成立，

∴函数f（x）=+（0＜x＜）的最小值36，取最小值时x的值为．

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题型：填空题

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填空题

若正数x，y满足xy=x+y+3，，则使xy≥a恒成立a的取值范围是______．

正确答案

∵正数x，y，满足x+y≥2，xy=x+y+3，

∴xy-2-3≥0

∴≥3或≤-1（舍去）

∴xy≥9，使xy≥a恒成立，所以a≤9．

故答案为：（-∞，9]．

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题型：填空题

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填空题

函数y=x+，x＞0的最小值是______．

正确答案

∵y=x+≥2=2，

当且仅当x=1 取等号．

故函数y=x+，x＞0的最小值是2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

已知a，b∈R+，且2a+b=1则2-4a2-b2的最大值是______．

正确答案

∵2a+b=1，∴4a2+b2=1-4ab，

∴S=2-4a2-b2=4ab+2 -1，

令 =t＞0，

则 S=4 (t+

1

4

)2-，

∵2a+b=1，∴1≥2⇒0＜t≤

故当t=时，S有最大值为：

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）

（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额-生产成本-技术改革费用）；

（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

正确答案

（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-

∴每件产品的销售价格为1.5×（元），

∴2010年的利润y=x•（1.5×）-（8+16x）-m=28-m-（m≥0）；

（2）∵m≥0，∴y=28-m-28-m-=29-[（m+1）+]≤29-2=21

当且仅当m+1=，即m=3时，ymax=21．

∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

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