基本不等式
共6247题

基本不等式
共6247题

热门试卷

题型：简答题

简答题

为迎接山东省第23届运动会在济宁召开，济宁市加快了城市建设改造的步伐．在太白路升级改造工程中，欲在京杭大运河上新建一座跨河大桥，最两端的两桥墩相距m米．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为工米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为（2+x）x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记工程的总费用为：y万元．

（I ）试写出y关于工的函数关系式；

（II）当m=320米时，需建多少个桥墩才能使得工程总费用y最小，最小费用为多少万元？

正确答案

（I）设需建n个桥墩，则（n-1）x=m即n=+1

所以y=f（x）=256n+（n-1）（2+x）x

=256(+1)+(2+x)x

=+mx+2m+256(0＜x＜m)

（II）由（I）知，y=m(+x)+2m+256

≥32m+2m+256

=34m+256

=34×320+256=11136

当且仅当=x即x=16时取等号，

所以f（x）在x=16时取得最小值．此时，n=+1=+1=21

故需要建21个桥墩才能使工程费用最小，最小费用为11136万元．

题型：简答题

简答题

计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[，]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

正确答案

设画面高为xcm，宽为λxcm，

则λx2=4840

设纸张面积为S，则有

S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，

将x=代入上式得

S=5000+44(8+)

当8=，即λ=(＜1)时，

S取得最小值，

此时高：x==88cm，

宽：λx=×88=55cm

如果λ∈[，]，

可设≤λ1＜λ2≤，

则由S的表达式得

S（λ1）-S（λ2）

=44(8+-8-)

=44(-)(8-)

由于≥＞，故8-＞0

因此S（λ1）-S（λ2）＜0，

所以S（λ）在区间[，]内单调递增．

从而，对于λ∈[，]，

当λ=时，S（λ）取得最小值

答：画面高为88cm、宽为55cm时，

所用纸张面积最小；

如果要求λ∈[，]，当λ=时，

所用纸张面积最小．

题型：填空题

填空题

已知正数满足，则的最小值为．

正确答案

试题分析：由，得

，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．

题型：填空题

填空题

设M是△ABC内一点,且·=2,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积,若f(M)=(,x,y),则+的最小值是　　.

正确答案

根据题意·=||||cos∠BAC=2,

可得||||=4,

所以S△ABC=||||sin∠BAC=×4×=1,

则+x+y=1,

即x+y=,

所以+=2(x+y)·(+)=2(1+4++)

≥2×(5+4)=18.

当且仅当=,

即x=,y=时取等号.

题型：填空题

填空题

现要用一段长为的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（如图所示），则围成的菜园最大面积是___________________．

正确答案

试题分析：依题意可知，其中，由基本不等式可知即（当且仅当时等号成立），所以，所以围成的菜园最大面积是.

题型：填空题

填空题

设x＞3，则x=______时，x+的最小值是______．

正确答案

∵x＞3，

∴x+=（ x-3）++3

≥2 +3=4+3，

当且仅当（ x-3）=即x=3+2时，等号成立，

故答案为：3+2，4+3．

题型：简答题

简答题

已知x＞2，求函数y=3x+的最小值，并指出取最小值时x对应的值．

正确答案

∵x＞2，

∴y=+3(x-2)+6≥2+6=6+6．

当且仅当 (x-2)2=2即x=2+时取等号

故答案为最小值为 6+6．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-2x+，x∈（-∞，1）∪（1，+∞），求f（x）的最小值．

正确答案

由题意f（x）=x2-2x+=（x-1）2+-1，

∵x∈（-∞，1）∪（1，+∞），

∴（x-1）2＞0，＞0

∴（x-1）2+≥2=

当且仅当（x-1）2=，即x=1±时，取等号

∴x=1±时，f（x）的最小值为．

题型：填空题

填空题

已知，若，则的最小值为 .

正确答案

试题分析：，从而可找到的关系，，即，而，当且仅当，即时等号成立，故最小值为6．

题型：填空题

填空题

若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数a的取值范围为 .

正确答案

试题分析：设，则，∴，∴或（舍），不等式化为：（），∴.

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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