- 基本不等式
- 共6247题
已知,且
.
(1)求证:;
(2)若恒成立,求实数
的最大值.
正确答案
(1)根据不等式的性质可知,那么得到
(2))
试题分析:解:证明(1),且
,
故当
时等号成立6分
(2),
且
恒成立,
恒成立,
又
当
时等号成立
,故实数
的最大值为
14分
点评:主要是考查了不等式的证明,以及重要不等式的运用,属于难度题。
设A(,0),B(0,
),已知点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,则
+
的最小值是______.
正确答案
∵A(,0),B(0,
),∴直线AB的方程为
+
=1,∴点P(x,y)满足2x+3y=1(0<x<
).
∴+
=(2x+3y)(
+
)=5+
+
≥5+2
=5+2
.当且仅当x=
y,y=1-
时取等号.
故+
的最小值是5+2
.
故答案为5+2.
若x、y∈R+,x+4y=20,则xy的最大值为______.
正确答案
∵x、y∈R+,x+4y=20,
∴20≥2,解得xy≤25,当且仅当x=4y=10,即x=10,y=
时取等号.
因此xy的最大值为25.
故答案为25.
已知0<x<,且t是大于0的常数,f(x)=
+
的最小值为9,则t=______.
正确答案
由题,可令a=sinx,b=1-sinx,由0<x<知,a,b∈(0,1)
此时有M=+
的最小值为9,且a+b=1
所以M=(+
)(a+b)=1+t+
+
≥1+t+2
=9等号当且仅当
=
①时成立,
解1+t+2=9可得t=4,将t=4代入①可解得sinx=
,故所求t值符合题意
故答案为4
一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?
正确答案
故当长宽都为9m时,面积最大为81.
试题分析:本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.
试题解析:解:设矩形的长宽分别为,则有
,
,
面积,当且仅当
时取“=”,
故当长宽都为9m时,面积最大为81.
若直线ax+by=1(a,b∈R)经过点(1,2),则的最小值是 。
正确答案
略
函数的最小值为_____________.
正确答案
15
略
已知,则
的最大值是 。
正确答案
略
.函数的图像恒过点A,若点A在直线
上,其中
,则
的最小值为 .
正确答案
8
有题意知:点A(-2,-1),所以由,则
,
(当且仅当“”时取“=”)
已知正数满足
,则
的最小值为 .
正确答案
9
试题分析:由,得
,当且仅当
,即
,也即
时等号成立,故最小值是9.
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