基本不等式_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

设a，b∈R，a2+2b2=6，则的最大值是______．

正确答案

1

解析

解：设：y=

则：b=y（a-3）

a2+2y2（a-3）2=6

（1+2y2）a2-12y2a+18y2-6=0

△=（12y2）2-4（1+2y2）（18y2-6）=-24y2+24≥0

∴y2≤1

-1≤y≤1

∴的最大值是：1

故答案为1

1

题型：填空题

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填空题

已知x＞，则函数y=4x+的最小值为______．

正确答案

7

解析

解：y=4x+=4x-5++5≥2+5=7

∴函数y=4x+的最小值为7

故答案为7

1

题型：填空题

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填空题

（文）已知，f（x）=x2+px+q和是定义在A上的函数，当x、x0∈A时，有f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在A上的最大值是______．

正确答案

4

解析

解：∵当x、x0∈A时，有f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），

∴f（x0），g（x0）分别为函数f（x），g（x）的最小值

∵

∴=3即g（x0）=3，此时x0=1

∵f（x0）=g（x0），则f（x0）=f（1）=3

∴

∴p=-2，q=4

∴f（x）=x2-2x+4在上的最大值为f（2）=4

故答案为：4

1

题型：简答题

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简答题

动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．

（1）现有可围36m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

（2）若使每间虎笼的面积为20m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

正确答案

解：（1）设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym，每间虎笼的面积为zm2；

则4x+6y=36；

即2x+3y=18；

z=xy=（2x•3y）≤（）2=；

当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时，等号成立；

故当每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时每间虎笼的面积最大；

（2）由题意，设每间虎笼的长、宽各设计为xm，m，

则钢筋网总长l=4x+6•=4（x+）≥8（当且仅当x=，即x=时，等号成立）；

此时每间虎笼的长、宽各设计为m，m．

解析

解：（1）设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym，每间虎笼的面积为zm2；

则4x+6y=36；

即2x+3y=18；

z=xy=（2x•3y）≤（）2=；

当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时，等号成立；

故当每间虎笼的长、宽各设计为4.5m，3m时每间虎笼的面积最大；

（2）由题意，设每间虎笼的长、宽各设计为xm，m，

则钢筋网总长l=4x+6•=4（x+）≥8（当且仅当x=，即x=时，等号成立）；

此时每间虎笼的长、宽各设计为m，m．

1

题型：单选题

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单选题

函数f（x）=4x-1+22-x的最小值为（　　）

A3

B

C2

D1

正确答案

A

解析

解：f（x）==3，

当且仅当，即x=1时取得等号，

所以f（x）的最小值为3，

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

若点A（x，y）在第一象限且在2x+3y=6上移动，则（　　）

A最大值为1

B最小值为1

C最大值为2

D没有最大、小值

正确答案

A

解析

解：由题意，x＞0，y＞0

∵2x+3y=6，∴6≥2，∴xy≤

∴=≤=1

∴的最大值为1

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

已知长方体的全面积为8cm2，则它的对角线长的最小值为______cm．

正确答案

2

解析

解：设长、宽、高分别是a，b，c，则全面积可表示为：2a•b+2b•c+2c•a=8，即ab+bc+ac=4

对角线长为≥，当且仅当a=b=c时，有最小值为2．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

已知矩形周长为20，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．问矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

正确答案

解：设矩形的长、宽分别是x，y，则x+y=10，

所以圆柱的侧面积S侧=2πxy=2π≤2π=2π×25=50π．

当且仅当x=y=5时，取“=”号．

∴当矩形的长、宽都是5时，旋转所形成的圆柱侧面积最大．

解析

解：设矩形的长、宽分别是x，y，则x+y=10，

所以圆柱的侧面积S侧=2πxy=2π≤2π=2π×25=50π．

当且仅当x=y=5时，取“=”号．

∴当矩形的长、宽都是5时，旋转所形成的圆柱侧面积最大．

1

题型：简答题

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简答题

某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费 100元．食堂每天需用大米l吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．

（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？

（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．

正确答案

解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．

则平均每天费用y1=n=．

当且仅当n=10时取等号．

∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．

（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），

则平均每天费用y2=

=（m∈[20，+∞））．

令f（m）=．

则＞0，

故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，

故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．

∴食堂可接受此优惠条件．

解析

解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．

则平均每天费用y1=n=．

当且仅当n=10时取等号．

∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．

（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），

则平均每天费用y2=

=（m∈[20，+∞））．

令f（m）=．

则＞0，

故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，

故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．

∴食堂可接受此优惠条件．

1

题型：单选题

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单选题

如图，在梯形ABCD中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，为BC上一动点，则△AMD周长的最小值为（　　）

A8

B10

C12

D24

正确答案

A

解析

解：过D作DE⊥B以C于E，

在Rt△CDE中，∠C=45°，CD=2，

∴DE=2，

∴AB=2，

延长AB到P，使BP=AB=2，

连接PD交BC于M′，PD==5，

则△AMD的周长最小值：AD+DM′+AM′=AD+PD=8．

故选A．

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