- 基本不等式
- 共6247题
已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为______．
正确答案
∵正实数x，y满足x+y+3=xy，而xy≤(
x+y
2
)2，
∴x+y+3≤(
x+y
2
)2，
∴（x+y）2-4（x+y）-12≥0，
∴x+y≥6或x+y≤-2（舍去），
∴x+y≥6．
又正实数x，y有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤x+y+
∴a≤(x+y+
1
x+y
)min，
令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+
∴(x+y+
1
x+y
)min=g（t）min=g（6）=6+
∴a≤
故答案为：（-∞，
（文科）某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
正确答案
设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，根据题意，有
z=150×
由容积为4800m3，可得
3xy=4800，
即xy=1600；
由基本不等式与不等式的性质，可得
240000+720（x+y）≥240000+720×2
即z≥240000+720×2
∴z≥297600；
当x=y，即x=y=40时，“=”成立；
所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
10辆货车从A站匀速驶往相距10000千米的B站，其时速都是v千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于k2v2千米（k为常数，k＞0，货车长度忽略不计）．
（1）将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间t表示成v的函数；
（2）当v取何值时，t有最小值．
正确答案
（1）最后一辆货车到达的时间包括两部分，一是两个位置相距的路程所需要的时间，二是十辆车之间的九倍的车距所用的时间，得到
t=
（2）进行整理，得到满足基本不等式的形式
t=9k2v+
当且仅当v=
即v=
已知正数x，y满足2x+y-2=0，则
正确答案
∵正数x，y满足2x+y-2=0，∴2x+y=2，即x+
∴
=
当且仅当
故
故答案为：
（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把26写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
正确答案
（1）设两个正数分别为x，y，
∵64=xy≤(
x+y
2
)2，
∴
∴x+y≥16（当且仅当x=y=8时取“=”），即这两个正数都取8时，它们的和最小；
（2）设两个正数分别为x，y，
∵26=x+y≥2
∴xy≤169（当且仅当x=y=13时取“=”）．
即这两个正数都取13时，（xy）max=169．
设a，b，c∈R+，若（ a+b+c ） （
正确答案
a，b，c∈R+，
∵（ a+b+c ） （
又a，b，c∈R+，若（ a+b+c ） （
∴k≤4
故答案为4
已知x，y满足
正确答案
由题意得：
目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，
在点A处取得最小值为1，
∴A（1，-1），B（3，1），
∴直线AB的方程是：x-y-2=0，
∴a=1，b=-1，c=-2
∴
故答案为：-3．
已知
正确答案
试题分析：设
若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则
正确答案
16
直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴
设
正确答案
试题分析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线
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