热门试卷

设水池底的长为x米（x＞0），则宽为米，造价是y元       （1分）

y=80×2×2（x+）+120×4 （x＞0）（4分）

y=320（x+）+480≥320×4+480=1760

当且仅当x=2时取等号                                  （6分）

水池的最低造价是1760元                               （7分）

（1）当x=a时，f（x）=f（a）=（2a-1）（1-3a）＜0

即（2a-1）（3a-1）＞0

∴a＜或a＞             

（2）当a=1时，f(x)=x•(1-3x)=•3x•(1-3x)

∵x∈(0，)

∴3x＞0，1-3x＞0

∴f(x)≤•[]2=（当且仅当3x=1-3x，即x=时取“=”号而∈(0，)）

∴fmax(x)=f()=．

证明见解析.

试题分析：直接利用算术－几何平均不等式可得，，两式相乘即得要证不等式．

试题解析：

∵，∴,,

∴.

【考点】算术平均值－几何平均不等式．

（1）2（2）2

(1)∵(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8,∴＋≤2.当且仅当1·＝1·即x＝3时，ymax＝2.

(2)(a＋)2＝2≤(a2＋4)(x＋1＋－x)＝(a2＋4)，

由已知(a2＋4)＝20得a＝±2，

又∵a>0，∴a＝2.

（1）若a、b、c∈R+，则≥（当且仅当a=b=c时取等号）．

（2）f（x）=ax2-x3=x(a2-x2)＞0在（0，2）上恒成立，

即a2＞x2在（0，2）上恒成立，

∵x2∈（0，2），∴a2≥2，即a≥，

又∵[f(x)]2=x2(a2-x2)(a2-x2)≤[

x2+(a2-

1

2

x2)+(a2-

1

2

x2)

3

]3=(

2a2

3

)3

∴x2=a2-x2，即x=a时，

fmax=a3＞1⇒a3＞==(

6

2

)3⇒a＞，

又∵x=a∈（0，2），∴a∈(0，)．综上，得a∈[，)．

易知，f（x）是奇函数，∵x=a时，函数有最大值，∴x=-a时，函数有最小值．

故猜测：x∈(-2，-a]∪ [a，2)时，f（x）单调递减；x∈[-a，a]时，f（x）单调递增．

（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．

如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），

即g（x）=a2（x-4k）- (x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．