基本不等式
共6247题

基本不等式
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题型：填空题

填空题

已知正数满足，则的最小值为．

正确答案

试题分析：因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为9.

题型：填空题

填空题

某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨(x为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．

正确答案

设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，则y＝×3＋2x≥2 ＝120，当且仅当＝2x，x＝30时，取得等号．

题型：填空题

填空题

已知函数，对于满足的任意实数，给出下列结论：

①；②；③；

④，其中正确结论的序号是 .

正确答案

④

试题分析：①.因为函数是上的增函数,所以所以①不正确.

②. 为上的减函数，即为上的减函数，而时，为增函数，或者取代入得,显然所以②不正确.

③. ,即说明函数是上的增函数,而在区间上,所以③不正确.

④. ,又,所以,即.

题型：简答题

简答题

求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

正确答案

a的最小值是

解法一:由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得:

x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)， ①

∴x，y＞0，∴x+y≥2， ②

当且仅当x=y时，②中有等号成立.

比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，

∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.

解法二: 设.

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，

∴≤1，的最大值是1.

从而可知，u的最大值为，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值为.

解法三: ∵y＞0，

∴原不等式可化为+1≤a，

设=tanθ，θ∈(0，).

∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)， ③

又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=).

由③式可知a的最小值为.

题型：填空题

填空题

已知正实数x、y满足x+2y=xy，则2x+y的最小值等于______．

正确答案

∵正实数x、y满足x+2y=xy，

∴+=1（x＞0，y＞0），

∴2x+y=（2x+y）•1=（2x+y）•（+）=++1+4≥2+5=9（当且仅当x=y=3时取等号）．

故答案为：9．

题型：填空题

填空题

设=(1，-2)，=(a，-1)，=(-b，0)且a≥0，b≥0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则4a+21+b的最小值为______．

正确答案

∵=-=（a-1，1），=-=（-b-1，2）．

又∵A、B、C三点共线，∴∥，从而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，

∴2a+b=1．

4a+21+b=22a+21+b≥2=2=4

故4a+21+b的最小值是4，

故答案为：4．

题型：填空题

填空题

一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时元. 当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元. 若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.

正确答案

设每小时的燃料费因为速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元，所以费用总和为当且仅当时取等号.

考点:基本不等式求最值

题型：简答题

简答题

（1）解不等式；

（2）已知, 且, 求的最小值；

正确答案

（1）（2）9

本试题主要是考查了不等式的解集以及均值不等式的运用，求解最值。

（1）因为或，从而得到。

（2），结合均值不等式得到结论。

解：（1）或，解集为……5分

（2），

取等号当且仅当……10分。

题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，求证：

正确答案

略

证明：

题型：填空题

填空题

设x，y∈R，且x2+xy+y2=9，则x2+y2的最小值为______．

正确答案

∵xy=9-(x2+y2)≤，

解得x2+y2≥6，当且仅当x=y=±时取等号．

故答案为6．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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