- 基本不等式
- 共6247题
设a>,则
+
的最小值为______.
正确答案
∵a>,∴3a-2>0,
∴+
=
+
+
≥2
+
=
+
=
,当且仅当
=
,3a-2>0,即a=
时取等号.
因此+
的最小值为
.
故答案为.
已知圆的切线l与两坐标轴分别交于点A,B两点,则
(O为坐标原点)面积的最小值为 .
正确答案
试题分析:因为切线l与两坐标轴分别交于点A,B两点,所以切线有斜率,并且不等于0,所以设其为,所以
,所以
的面积等于
.因为直线为切线,所以
,即
,所以
,代入面积公式,可得
,根据均值不等式,可知当且仅当
时,取得最小值.
已知,
,则
的最小值为 .
正确答案
3
试题分析:法一:由可得
,所以
(当且仅当
即
时等号成立);
法二:(当且仅当
即
时等号成立).
已知恒成立,则实数
的取值范围是 .
正确答案
试题分析:因为恒成立,即
小于
的最小值即可,而
,即
,得
.
已知,若
,则
的最大值为 .
正确答案
4
解:因为,利用均值不等式可知,k小于其最小值即可,因此k<4..
已知圆:
(1)平面上有两点,求过点
两点的直线
被圆
截得的弦长;
(2)已知过点的直线
平分圆
的周长,
是直线
上的动点,
并且,求
的最小值.
(3) 若是
轴上的动点,
分别切圆
于
两点.
试问:直线是否恒过定点?如是,求出定点坐标,如不是,说明理由.
正确答案
(1)4;(2);(3)直线
恒过定点
.
第一问主要是利用两点坐标,求解出直线方程AB,然后联立方程组,得到弦长。
第二问中,由于直线平分圆的周长,说明了直线过圆心,则可以得到直线l的方程,然后结合均值不等式来求解最值
第三问中,要判定直线是否恒过定点,关键是求解直线MN的方程即可。
解:(1)因为直线经过
两点,从而直线
的方程为
进而令中的
得
或
故此直线被圆
截得的弦长为
. …… 3分
(2) 因为圆的圆心为, 又直线过点
,
所以直线的方程是:
而在直线
上, 所以有:
也即有
, 进而有:
故当,即
时,又
,
从而时
取得最小值
(3) 由知
在以
为直径的圆上。
设,则以
为直径的圆
的方程为:
.
即
与圆:
联立,消去
得
。
故无论取何值时,直线
恒过直线
的交点
,
即直线恒过定点
……………12分
某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126米2的厂房,工程条件是:①建1米新墙的费用为元;②修1米旧墙的费用为
元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为
元.经过讨论有两种方案:⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?
正确答案
采用方案⑴,即利用旧墙12米为矩形的一面边长,建墙费用最省.
本试题主要是考查了函数在实际生活中和运用。
解法:设总费用为y元,利用旧墙的一面矩形边长为x米,则另一边长为米。
⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为元,剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为
元,其余的建新墙的费用为
元,故总费用
当且仅当x=12时等号成立,∴x=12时,。
⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为元,建新墙的费用为
元,故总费用
设,则
在[14,+∞)上递增,∴f(x)≥f(14)
∴x=14时,。
综上所述,采用方案⑴,即利用旧墙12米为矩形的一面边长,建墙费用最省。
正确答案
,当且仅当
取等
设x、y是正实数,且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是______.
正确答案
∵x,y是满x+y=5的正数,
∴x+y=5≥2,即xy≤
,当且仅当x=y时取等号,
∴lgx+lgy=lgxy≤lg=2-4lg2,即最大值为2-4lg2.
故答案为:2-4lg2.
不等式的解集为
,则实数a的取值集合是______________.
正确答案
略
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