- 基本不等式
- 共6247题
已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，易得S=S1+S2+S3，即S=λ1S+λ2S+λ3S，进而可得：1=λ1+λ2+λ3，
又由S△PBC=
则λ2+λ3=
此时M（P）=（λ1，λ2，λ3）=（
故选A．
已知正数a，b满足a+b=2．
（1）求ab的取值范围；
（2）求4ab+
（3）求ab+
正确答案
解：（1）∵a，b＞0，
∴
∴ab的取值范围是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，则4t+
∴4ab+
（3）令ab=t，则
∵
因此当t=1时，函数f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即
解析
解：（1）∵a，b＞0，
∴
∴ab的取值范围是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，则4t+
∴4ab+
（3）令ab=t，则
∵
因此当t=1时，函数f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即
已知f（x）=log3（x-3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2则m+n的最小值为______．
正确答案
解：根据实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，可得
log3（m-3）+log3（3n-3）=2，
即（m-3）（3n-3）=9，
也即（m-3）（n-1）=3，（m＞3，n＞1）；
因为m+n=（m-3）+（n-1）+4
所以m+n的最小值为2
故答案为：2
解析
解：根据实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，可得
log3（m-3）+log3（3n-3）=2，
即（m-3）（3n-3）=9，
也即（m-3）（n-1）=3，（m＞3，n＞1）；
因为m+n=（m-3）+（n-1）+4
所以m+n的最小值为2
故答案为：2
已知△ABC的面积为1，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若
正确答案
解析
解：由题意可得：
∴
故选D．
已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（1）若a+b+c=0，求a的最大值．
（2）若ab+bc+ca的最大值为M，解不等式|x+1|+|x-1|≥3M．
正确答案
解：（1）∵a2=（-b-c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）
∴a2≤2（1-a2），∴3a2≤2，
即
∴a的最大值为
（2）∵
若不等式|x+1|+|x-1|≥3M对一切实数a，b，c恒成立，
则|x+1|+|x-1|≥3，
当x≥1时，化为2x≥3，解得
当-1≤x＜1时，化为x+1-x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；
当x＜-1时，化为-2x≥3，解得x≤-
综上可得：不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为
解析
解：（1）∵a2=（-b-c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）
∴a2≤2（1-a2），∴3a2≤2，
即
∴a的最大值为
（2）∵
若不等式|x+1|+|x-1|≥3M对一切实数a，b，c恒成立，
则|x+1|+|x-1|≥3，
当x≥1时，化为2x≥3，解得
当-1≤x＜1时，化为x+1-x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；
当x＜-1时，化为-2x≥3，解得x≤-
综上可得：不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为
设a＞0，b＞0，
A
B1
C
D2
正确答案
解析
解：∵a＞0，b＞0，
∵ax=by=3，∴x=loga3，y=logb3，
∴
则
∴
故选：B．
已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，B═{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，则
正确答案
解析
解：A={x|x2-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
设m，n是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∵A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，
∴4，-1是方程ax2+bx+c=0的两个根且a＞0，
∴-1+4=
∴b=-3a，c=-4a，a＞0，
∴
当且仅当
故答案为：
（2015秋•丰城市校级期末）已知f（x）=|2-x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（ ）
A（0，2）
B（0，2]
C（0，4]
D
正确答案
解析
解：∵f（x）=|x2-2|，且0＜m＜n，f（m）=f（n），
∴0＜m＜
∴2-m2=n2-2，即m2+n2=4，
由基本不等式可得4=m2+n2≥2mn，解得mn≤2，
但0＜m＜n，∴0＜mn＜2
故选：A
己知x＞
正确答案
解：∵x＞
∴x+
∴x+
解析
解：∵x＞
∴x+
∴x+
若x∈R+，则x+
正确答案
4
解析
解：∵x∈R+，∴x+
当且仅当x=
∴x+
故答案为：4
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