基本不等式
共6247题

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题型：填空题

填空题

若正数x，y满足x+y=1，且+≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则正数a的取值范围是______．

正确答案

[1，+∞）

解析

解：∵正数x，y满足x+y=1，

∴+=（x+y）=1+a+≥1+a+2=1+a+2，当且仅当y=x时取等号．

∵+≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，

∴，

化为，即≥0

解得a≥1．

∴正数a的取值范围是[1，+∞）．

故答案为：[1，+∞）．

题型：简答题

简答题

在对角线有相同长度d的所有矩形中．

（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；

（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

正确答案

解：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，

由题意可得x2+y2=d2，

∴矩形周长c=2（x+y），

∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）

≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，

周长取到最大值2d；

（2）由（1）矩形面积S=xy=•2xy≤（x2+y2）=

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值．

解析

解：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，

由题意可得x2+y2=d2，

∴矩形周长c=2（x+y），

∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）

≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，

周长取到最大值2d；

（2）由（1）矩形面积S=xy=•2xy≤（x2+y2）=

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值．

题型：单选题

单选题

若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，

∴y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．

∴y=+的最小值是4．

故选：C．

题型：单选题

单选题

若f（x）=x+（x＞2）在x=n处取到最小值，则n的值为（　　）

正确答案

解析

解：∵x＞2，∴f（x）=x+=（x-2）++2+2=4，当且仅当x=3时取等号．

∴n=3．

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知△ABC的面积为，且sinB=，则+的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵△ABC的面积为，且sinB=，

∴S=acsinB=，∴ac=4

∴+≥2=2，

当且仅当=即a=4且c=1时取等号，

故答案为：2．

题型：单选题

单选题

已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：因为

当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．

故选C．

题型：单选题

单选题

方程在x∈（0，+∞）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

Aa＞2

Ba≥2

正确答案

解析

解：∵方程在x∈（0，+∞）内有解⇔，（x＞0）

∵x＞0，∴，当且仅当是取等号．

∴．

∴a≥2．

故选B．

题型：简答题

简答题

设x＞-1，求函数y=x++6的最小值．

正确答案

解：∵x＞-1，∴x+1＞0．

∴函数y=x++6=（x+1）++5≥+5=9，当且仅当x=1时取等号．

∴函数y=x++6的最小值为9．

解析

解：∵x＞-1，∴x+1＞0．

∴函数y=x++6=（x+1）++5≥+5=9，当且仅当x=1时取等号．

∴函数y=x++6的最小值为9．

题型：填空题

填空题

已知0＜x＜1，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，

则y==（）[x+（1-x）]=1+4++≥5+2=9，

当且仅当=，即x=时，取等号，

故y= 的最小值为9，

故答案为：9．

题型：填空题

填空题

函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为______．

正确答案

解析

解：函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），

∵点A在直线mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，

∴m+n=1．

则+=（m+n）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时取等号．

故答案为：4．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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