- 基本不等式
- 共6247题
已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为______．
正确答案
6
解析
解：∵xy2=8，∴x=
∵x，y∈R+，
∴4x+y=
∴4x+y的最小值为6．
故答案为：6．
设a＞0，b＞0，且a+b=1，则
正确答案
4
解析
解：∵a+b=1，
∴
当且仅当
故答案为：4．
若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则a2b2c2的最大值为______；a+b+c的最小值为______，3ab-3bc+2c2最大值为______．
正确答案
-
3
解析
解：①∵a≥0，b≥0，c≥0时，
a+b+c≥3
∴a2+b2+c2≥3
∴a2b2c2≤
∴a2b2c2的最大值为
②∵a2+b2+c2≥
∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2）=3
∴-
∴a+b+c的最小值为-
③不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c2=3ab≤
当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
设x=
即有Mx2-3xy+My2+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△1=9y2-4M（My2+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M2）y2-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△2=144M2+16M（9-4M2）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M2+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3；
∴3ab-3bc+2c2最大值为3．
故答案为：
设a≠b，解关于x的不等式a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2．
正确答案
解：将原不等式化为
（a2-b2）x+b2≥（a-b）2x2+2（a-b）bx+b2，
移项，整理后得（a-b）2（x2-x）≤0，
∵a≠b即（a-b）2＞0，
∴x2-x≤0，
即x（x-1）≤0．
解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}．
解析
解：将原不等式化为
（a2-b2）x+b2≥（a-b）2x2+2（a-b）bx+b2，
移项，整理后得（a-b）2（x2-x）≤0，
∵a≠b即（a-b）2＞0，
∴x2-x≤0，
即x（x-1）≤0．
解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}．
下列结论正确的是（ ）
A当x＞0且x≠1时，lgx+
B当x＞1时，
C当x≥2时，x+
D当0＜x≤2时，x-
正确答案
解析
解：A．当1＞x＞0时，lgx＜0，lgx+
B．当x＞1时，
C．当x≥2时，x+
D．当0＜x≤2时，函数y=x-
故选：D．
若直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则
正确答案
解析
解：∵f（x）=ax+1+1过定点（-1，2），又点在直线上，∴m+2n=2，
∴
故选C．
若x＞0，y＞0，且x+4y=1，则
A9
B8
C9+4
D4
正确答案
解析
解：若x＞0，y＞0，且x+4y=1，则
当且仅当 
故
故选C．
已知x＞0，xy=4，则log2x•log2（4y）的最大值为______．
正确答案
4
解析
解：由题意，当0＜x＜1，log2x•log2（4y）不存在最大值；
所以x＞1，xy=4，所以log2x•log2（4y）≤
故答案为：4．
已知x，y∈R*，x+9y=3，则xy的最大值为______．
正确答案
解析
解：∵x，y∈R*，
∴x+9y
∴xy
当且仅当x=9y时取等号，
由
∴xy的最大值为
故答案为：
已知a＞1，0＜b＜1，则logab+logba的取值范围是（用区间表示）______．
正确答案
（-∞，-2]
解析
解：设logab=t，
∵a＞1，0＜b＜1，∴logab＜0．
∴logab+logba=
∴logab+logba的取值范围是（-∞，-2]．
故答案为：（-∞，-2]．
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